Was bedeutet dieser Ausdruck bei geometrischen Reihen?

Hallo, in meinem Skript seht, dass bei einer geometrischen Reihe q^k (die einzelnen Folgenglieder werden miteinander addiert)

|q| < 1 konvergiert und daneben steht der Ausdruck (1/1-q)

Weiß jemand von euch, woher das 1/1-q kommt und welche Bedeutung es hat?

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Betrachte die geometrische Summe: $\sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n$

Wenn man diese mit (1 - q) multipliziert erhält man eine Teleskopsumme: $\left(1 - q \right) \sum_{k=0}^{n} q^k = (1 - q) + (q - q^2) + (q^2 - q^3) + \dots + (q^n -q^{n+1})$

Übrig bleibt: $\left(1 - q \right) \sum_{k=0}^{n} q^k = 1 - q^{n+1}$

Durch Division durch (1 - q) auf beiden Seiten erhält man die Formel für die geometrische Summe: $\sum_{k=0}^{n} q^k= \frac{1- q^{n+1}}{1 - q}$

Wenn |q| < 1, geht die Folge der Potenzen (qᵏ) gegen 0 und der Zähler aus der geometrischen Summenformel gegen 1. Nach den Grenzwertsätzen erhält man also genau die Formel für die Geometrische Reihe:

Answer 2

[evtldocha]

$\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\ \frac{1}{1-q}$

Der Ausdruck ist das Result (Der Grenzwert der geometrischen Reihe)

Answer 3

[Jangler13]

1/(1-q) ist der Grenzwert der Geometrischen Reihe wenn |q|<1 gilt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Comments

[Mel48]

Okey danke! Und kann ich diese Formel irrgendwie berechnen ?

[Jangler13]

@Mel48

Nicht berechnen, sondern beweisen.

Ein Beweis dafür kannst du hier finden:

https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Geometrische_Reihe

[Mel48]

@Jangler13

Ohh okey, alles klar, vielen dank für die Hilfe!