Warum ist der natürliche Logarithmus so speziell?
Woher kommt eigentlich der natürliche Logarithmus? Der natürliche Algorithmus ist der mit der Basis e, aber warum ist der Logarithmus mit dieser Basis so besonders?
6 Antworten
Man kann e auch über die stetige Verzinsung herleiten.
Stelle Dir vor, eine Bank gibt dir 100% Zinsen im Jahr. Dann hast du nach einer Periode das Doppelte (Faktor 2). Wir nehmen an, Du bekommst die Möglichkeit die Periode auf 1/2 Jahr zu verkürzen mit halben Zinssatz, oder auf 1/3 Jahr mit 1/3 Zinssatz oder auf 1/100 Jahr mit 1/100 Zinssatz. Wie Du feststellen kannst, kommt das nicht aufs gleiche raus, sondern der Faktor (am Anfangsbeispiel 2) wird immer größer. Wenn wir nun annehmen, dass die Periode gegen 0 geht und natürlich auch der Zinssatz, so haben wir die stetige Verzinsung, der Faktor ist dann nicht 2 sondern die Eulersche Zahl e. Sie ist also ein Grenzwert und stellt in diesem Beispiel den maximalen Faktor dar, um den sich dein Vermögen nach einem Jahr (ursprüngliche 100% Periode) vermehrt hat.
Zum Beispiel ist der natürliche Logarithmus der einzige Logarithmus, der abgeleitet glatt
ergibt. Die Ableitungen jedes anderen Logarithmus zur einer Basis a unterscheidet sich um einen Faktor 1/ln(a):
Das heißt: Die Ableitung eines Logarithmus zu irgendeiner Basis a enthält einen Faktor, der den natürlichen Logarithmus enthält. In anderen Worten: Der ln kommt in der Ableitung jedes anderen Logarithmus vor. Das ist doch schon mal eine spannende Beobachtung.
Ähnlich die e-Funktion:
Die Ableitung jeder anderen Potenzfunktion hat einen ln-Vorfaktor:
Deshalb sind e und ln so "natürlich" - sie treten oft ganz natürlich ohne besondere Vorfaktoren auf.
Der Zusammenhang zu stetiger Verzinsung wurde ja schon genannt, hier findest du eine gute Erklärung dazu: https://www.mainphy.de/die-eulersche-zahl/
Der Clue dabei: Würde man Geld anlegen, das jede Millisekunde verzinst wird (natürlich mit Zinseszins), hätte man nach einem Jahr das e-fache seines Startkapitals. Die e-Funktion ist damit die Grenzfunktion, wenn man immer kürzere Zeitintervalle betrachtet, in denen verzinst wird.
man kann alles , wozu man Logarithmen braucht , mit irgendeinem Log lösen.
Aber oft hat man Glg mit e als Basis , die lassen sich mit dem ln besonders elegant lösen :
e^(x+1) = 5...........ln anwenden
1*(x+1) = ln(5)
.
weil ln(e) = 1
.
e^(x+1) = 5 ...................logBasis10
(x+1) * log10(e) = log10(5)
Weil er auf der e-Funktion basiert.
Das besondere an der e-Funktion ist, daß sie ihrer eigenen Ableitung entspricht, was viele Berechnungen deutlich vereinfacht.
Euler war eine Person, die eulersche Zahl wurde nach ihm benannt