Warum braucht man für die Bestimmung der Geschwindigkeit die Ableitung?
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4 Antworten
Definition:Die Geschwindigkeit v ist der zurückgelegte Weg s pro Zeiteinheit t.
durchschnittliche Geschwindigkeit v=(s2-s1)/(t2-t1) mit t2>t1
s1=Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1
s2=Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t2
Geht nun das Zeitintervall (t2-t1) gegen NULL,so erhält man die
Momentangeschwindigkeit V(t)=ds/dt=S´(t) ist die 1.te Ableitung des Weges S(t)=.. nach der Zeit t
Sekantensteigung (Differenzenquotient) m=(y2-y1)/(x2-x1)
die Sekante ist eine Gerade durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)
Eine Ableitung gibt an, wie sehr sich eine Größe an einem Punkt verändert. Die Geschwindigkeit ist eigentlich nur ein Maß für die stärke der Streckenänderung.
Selbst die bekannte Funktion v = s/t ist eigentlich eine Ableitung, wobei die Geschwindigkeit dabei konstant sein muss. Probier mal aus eine Aufgabe welche du mit v = s/t berechnen könntest durch die Ableitung von s zu berechnen. Dadurch wird die ganze Sache etwas klarer.
Der mit einer Geschwindigkeit v in einer Zeit t zurückgelegte Weg s ist bei konstanter Geschwindigkeit ein Rechteck unter der Geschwindigkeitsfunktion. Weg ist verallgemeinert das Integral einer Geschwindigkeit. Die Änderungen der durchlaufenen Strecke pro Zeitintervall (delta s)/(delta t) ist die Geschwindigkeit für dieses Intervall. An einem gegebenen Punkt ist die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion die Geschwindigkeit.
Genau deshalb wurde dir ja in deiner vorderen Frage erklärt, wie man von der Sekante zur Tangente kommt.
- Sekante: Geschwindigkeit aus zwei Punkten
- Tangente: Geschwindigkeit aus Ableitung in einem Punkt, bzw. den Funktionsverlauf der Geschwindigkeit
- Und dann einfach immer die Definition der Geschwindigkeit vor Augen halten: Meter pro Sekunde, Kilometer pro Stunde, also Strecke pro Zeit; und y pro x ist immer die Steigung des Graphen, also eben der Sekante oder Tangente.