Wann sind zwei ebenen parallel (Normalenvektor)?
Hallo zusammen,
ich hätte eine Frage zur analytischen geometrie, welche ich im internet noch nicht beantwortet gefunden habe. Zumindest nicht für diesen Fall.
In der mir vorliegenden aufgabe, sind zwei ebenen, eine in koordinaten- und die andere in parameterform gegeben.
Ich soll zeigen, dass die eine ebene zur anderen parallel ist.
ebenen sind genau dann parallel, wenn der Normalenvektor der einen Ebene auch der Normalenvektor der anderen Ebene ist, d.h wenn n orthogonal zu den spannvektoren von der anderen ebene ist.
Der Normalenvektor der Ebene in Koordinatenform lautet -> (2/-2/1), wenn ich nun jedoch, das Kreuzprodukt der anderen ebene berechne, so kommt nicht der selbe normalenvektor raus.
vielen dank für antworten
Und die andere Ebene?
E1: 2x1-2x2+x3 = -1 und die andere ebene lautet E2:x= (7/7/5) + r(1/1/0) + t (1/3/4)....
2 Antworten
Was bekommst du denn heraus? Die Normalenvektoren müssen ja nicht gleich sein, sie können auch Vielfache voneinander sein. Es gibt nicht nur einen Normalenvektor zu einer Ebene. Es können auch mehrere sein, die z. B. unterschiedlich lang sein können und auch in die entgegengesetzte Richtung zeigen können. Es kann also durchaus was verschiedenes heraus kommen.
Da hast du dich verrechnet, die erste Komponente ist 1 *4 - 0 * 3 und das ist 4.
ohhhhh ich bin so dumm.... ufff dann also ein vielfaches und folglich parallel?
Ja, das reicht völlig aus. Dein Ansatz war komplett richtig, Kreuzprodukt der beiden aufspannenden Vektoren bilden, dann die Normalenvektoren vergleichen. Aber sie müssen eben nicht gleich sein, sondern nur die Richung muss gleich oder entgegengesetzt sein.
Und jetzt hast du die Ebenen ja aufgeschrieben. Wenn du das Kreuzprodukt von (1,1,0) und (1,3,4) ausrechnest, dann kommt (4,-4,2) heraus. Also ist alles gut, denn (4,-4,2) ist ja ein Vielfaches von (2,-2,1) - also sind die beiden Ebenen parallel.
(4,-4,2) = 2 * (2,-2,1)
Du musst nur schauen, ob die eine Ebene ein Vielfaches von der anderen Ebene ist.
Dazu einfach die Ebene E2 in Parameterform umwandeln und vergleichen.
das haben die in den lösungen leider nicht gemacht ... aber die lösungen machen keinen sinn
kann ich auch die parameter ebene in koordinatenform umwandeln ?
Musst du doch gar nicht. Dein Rechenweg ist völlig in Ordnung. Aber du musst eben nicht nach gleichen Normalenvektoren suchen, es reicht aus, wenn der eine ein Vielfache des anderen ist.
ich bekomme nichts heraus :D nur müll :D wenn ich nun also das kreuzprodukt der ebene in parameterform bilde, dann kommt anstelle von (2/-2/1) nur -> (-3/-4/2)