wozu braucht man das skalar- und kreuzprodukt bei der Vektorrechnung im dreidimensionalen?

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4 Antworten

von koordinaten in param. gibt es verschiedene wege; mE am einfachsten, sich 3 punkte basteln und mit denen parameterf. machen; zB 3x+2y+z=6 dann P(2;0;0) Q(0;3;0) R(0;0;6) muss immer beim einsetzen 6 ergeben. und von param. zu koordinatenform; mit kreuzprodukt macht man sich einen normalenvektor und dann n1x + n2y +n3z=(Stützv. * Normalenv.)

Skalarprodukt: a*b:

Winkel x zw. Vektor a und b:

cos x = a * b / (|a| * |b|) 

Kreuzprodukt a x b der Vektoren a und b:

c = a x b

Vektor c steht senkrecht auf a und b und |c| ist gleich der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms

 

sei E: x = a + r*b+s*c (a,b,c vektoren) die parameterform.

1. bestimme n = b x c (kreuzprodukt; b,c vektoren)

2. koordinatenform ist nun n*x=n*a (skalarprodukt, n,x,a vektoren)

umgekehrter weg (braucht man eigentlich nie, da koordinatenform besser):

1. wähle 2 beliebige, zu n linear unabhängige vektoren (am besten einfache wie (1,0,0) (0,1,0) ...) ich nenne sie mal v und w

2. berechne b=n x v und c = w x v (jeweils kreuzprodukt; v,w,n vektoren)

3. setze in koodinatenform 2 willkürliche zahlen für 2 der x werte ein und berechne den dritten. du hast nun einen punkt der ebene a.

4. parameterform: E: x = a + r*b+s*c (a,b,c vektoren)  (andere werte als bei der ausgangsparameterform, abder die gleiche ebene, falls du hin und rückweg rechnest)

 

nutzen des skalar und kreuzprodukts siehe antwort von aurel

Mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren lässt sich der Winkel zwischen ihnen bestimmen.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren bildet einen dritten Vektor, welcher senkrecht auf den beiden anderen steht.

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