wozu braucht man das skalar- und kreuzprodukt bei der Vektorrechnung im dreidimensionalen?

4 Antworten

von koordinaten in param. gibt es verschiedene wege; mE am einfachsten, sich 3 punkte basteln und mit denen parameterf. machen; zB 3x+2y+z=6 dann P(2;0;0) Q(0;3;0) R(0;0;6) muss immer beim einsetzen 6 ergeben. und von param. zu koordinatenform; mit kreuzprodukt macht man sich einen normalenvektor und dann n1x + n2y +n3z=(Stützv. * Normalenv.)

Skalarprodukt: a*b:

Winkel x zw. Vektor a und b:

cos x = a * b / (|a| * |b|) 

Kreuzprodukt a x b der Vektoren a und b:

c = a x b

Vektor c steht senkrecht auf a und b und |c| ist gleich der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms

 

sei E: x = a + r*b+s*c (a,b,c vektoren) die parameterform.

1. bestimme n = b x c (kreuzprodukt; b,c vektoren)

2. koordinatenform ist nun n*x=n*a (skalarprodukt, n,x,a vektoren)

umgekehrter weg (braucht man eigentlich nie, da koordinatenform besser):

1. wähle 2 beliebige, zu n linear unabhängige vektoren (am besten einfache wie (1,0,0) (0,1,0) ...) ich nenne sie mal v und w

2. berechne b=n x v und c = w x v (jeweils kreuzprodukt; v,w,n vektoren)

3. setze in koodinatenform 2 willkürliche zahlen für 2 der x werte ein und berechne den dritten. du hast nun einen punkt der ebene a.

4. parameterform: E: x = a + r*b+s*c (a,b,c vektoren)  (andere werte als bei der ausgangsparameterform, abder die gleiche ebene, falls du hin und rückweg rechnest)

 

nutzen des skalar und kreuzprodukts siehe antwort von aurel

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