Wann kommt die "C" Variable bei Integrieren?
Hallo, wenn ich integriere, weiß ich nie, wo genau immer dieses +C hinkommt.
Ist das C immer in der Klammer dabei, oder muss man es noch irgendwo anders auch mitschreiben? Und könnte mir jemand vielleicht erklären, was es mit dem C auf sich hat?
1 Antwort
Nehmen wir als Beispiel die Funktion f(x)=x². Beim Integrieren suchen wir nach einer Funktion, die abgeleitet unsere Funktion f ergibt, eine sog. Stammfunktion F. Eine solche Funktion wäre zum Beispiel F(x)=x³/3, denn die Ableitung von F ist dann genau wieder f:
F'(x) = (x³/3)' = 3x²/3 = x² = f(x)
Es ist aber nicht die einzige Stammfunktion von f. Die Funktion F(x) = (x³/3) + 5 ist auch wieder eine Stammfunktion, denn
F'(x) = (x³/ 3 + 5)' = 3x²/3 + 0 = x² = f(x)
Allgemein gilt: Eine additive Konstante C (hier war es die 5) fällt beim Ableiten eh weg, deshalb darf sie beim Bilden der Stammfunktion umgekehrt hinzugefügt werden.
Benötigt wird das beim Berechnen eines unbestimmten Integrals. Bei einem bestimmten Integral, also einem mit Integrationsgrenzen, braucht es die Konstante nicht.
Warum? Weil beim bestimmten Integral eine Differenz von zwei Werten der Stammfunktion gebildet wird, wodurch das +C sich weghebt.
Beispiel: Wir wollen f(x)=x² integrieren in den Grenzen von 0 bis 3. Dann erhalten wir:
Integral = F(3) - F(0) = 3³/3 + 5 - (0³/3 + 5)
Du siehst, der Term +5 taucht sowohl in F(3) als auch in F(0) auf und hebt sich genau weg. Deshalb schreibt man das +C bei bestimmten Integralen gar nicht erst hin.
Wenn du noch Fragen hast, bitte einfach fragen! :)