Wann Betrag beim Wurzelrechnen?
Hey, wenn ich jetzt zum Beispiel diese Aufgabe habe: √(b-1)² = |b-1| Warum muss ich die Betragsstriche setzen? Kann man die nicht auch weglassen? Ich weiß ja, dass man sie setzen muss, wenn das Ergebnis entweder positiv oder negativ sein kann, aber muss ich das immer erst ausrechnen und ausprobieren oder gibt es eine Regel, die sagt, wann ich die Betragsstriche setzen muss? 1/(-n)²* |x³m|432xm <- Ergebnis einer Aufgabe √96.x^7*m³-1/(-n)^4
Warum muss ich da die Betragsstiche setzen? Muss ich sie nur bei negativen Exponenten im Ergebnis setzen oder hat es was mit dem Radikant zu tun?
Danke für Antworten
4 Antworten
Per Definition gilt: √x >= 0 für alle positiven reellen Zahlen x.
In deinem Beispiel:
√(b-1)² = |b-1|
da das Ergebnis der Quadratwurzel größer gleich 0 sein muss und das Minuszeichen aufgrund des Quadrates keine Rolle spielt. Man kann es sich auch direkt einfach machen indem man anwendet:
|b - 1|^2 = (b - 1)^2 = (1 - b)^2
Im Quadrat wird jedes Ergebnis positiv, egal, wie der Ausgangswert ist, so auch in allen x^2n. Deshalb ist es notwendig darauf hinzuweisen, dass x immer +x oder-x, sein kann. Hast du also schon ganz richtig verstanden.
Du meinst sicherlich √((b-1)²) , also so daß hoch2 mit unter der Wurzel steht.
Dann sind die Betragstriche immer dann erforderlich, wenn der Term in der inneren Klammer auch negative Werte annehmen kann.
Wenn der Term in der inneren Klammer immer positiv ist, dann sind die Betragstriche überflüssig.
Also wenn in deinem Bsp b eine beliebige reelle Zahl ist, dann sind die Betragstriche erforderlich, denn wenn z.B. b=-3
=> √((-4)²) = √16 = 4
Wenn man jetzt die Betragstriche weglassen würde, wäre es falsch, denn
b-1 = -3-1 = -4
Moin,
Die Betragsstriche setzt du immer, weil die Wurzel, wenn man von ihr als Funktion spricht, allgemein als positiv definiert ist. Das würde anders auch keinen Sinn machen:
Stell dir mal die Normalparabel gedanklich vor. Kippe sie um 90° "nach rechts", dann ist es nicht mehr die y-Achse, die sie halbiert, sondern die x-Achse. Jetzt hast du das Phänomen, dass du zu einem x-Wert gleich zwei y-Werte bekommst. Somit könnte die Wurzelfunktion keine "Funktion" im mathematischen Sinne sein.
Was macht man also? Man schmeißt den kompletten Teil unterhalb der x-Achse (also alle negativen Ergebnisse) raus - und schwupp, ich hab eine Umkehrfunktion zur quadratischen Funktion.
Das ist alles, einfach, damit man die Wurzel mathematisch als Funktion definieren kann.
Gruß, Galdur :)