Wahrscheinlichkeit und warum nicht in diesem Beispiel binomialverteilt??

Warum ist dieses Beispiel nicht binomialverteilt weil da steht ja die Gewinn Wahrscheinlichkeit bleibst immer gleich und der Ausgang ist gewinnen und nicht gewinnen

Answer 1

[mihisu]

Da kann man schon eine Binomialverteilung erkennen, wenn man möchte. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable X mit n = 768 Versuchen und einer Einzeltrefferwahrscheinlichkeit p ist...

$\text{E}\left[X\right]=n\cdot p=768\cdot p$

[https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Erwartungswert]

Wenn man nun annimmt, dass die 162 Erfolge dem Erwartungswert entsprechen, erhält man...

$768\cdot p=162$

$\rightarrow\quad p=\frac{162}{768}\approx 0\text{,}211=21\text{,}1\,\%$

Diese konstante Einzeltrefferwahrscheinlichkeit p entspricht dann auch der Wahrscheinlichkeit, mit der er dann beim nächsten Versuch gewinnt.

[Es handelt sich bei 21,1 % aber nur um einen „Schätzwert“, da man nicht unbedingt davon ausgehen kann, dass die 162 Erfolge dem Erwartungswert entsprechen. Es könnte theoretisch ja beispielsweise auch sein, dass eigentlich p = 0,00001 ist, und er einfach nur sehr viel Glück hatte, dass er trotz einer so niedrigen Trefferwahrscheinlichkeit tortzdem 162 Erfolge hatte.]

====== Ergänzung ======

Statt mit Erwartungswert kann man das auch so sehen...

Die Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsvariable X mit n = 768 Versuchen und einer Einzeltrefferwahrscheinlichkeit p genau 162-mal Erfolg zu haben beträgt ...

$\text{P}(X=162)=\underbrace{\binom{768}{162}\cdot p^{162}\cdot \left(1-p\right)^{768-162}}_{f(p):=}$

Für welchen Wert p ist diese Wahrscheinlichkeit nun am größten? Dazu kann man die Maximumstelle mit Hilfe von etwas Analysis berechnen...

$f(p)=\binom{768}{162}\cdot p^{162}\cdot \left(1-p\right)^{606}$

$f'(p)=\binom{768}{162}\cdot \left(162\cdot p^{161}\cdot \left(1-p\right)^{606}+p^{162}\cdot 606\cdot \left(1-p\right)^{605}\cdot \left(-1\right)\right)$

$f'(p)=\binom{768}{162}\cdot \left(162\cdot \left(1-p\right)+p\cdot 606\cdot \left(-1\right)\right)\cdot p^{161}\cdot \left(1-p\right)^{605}$

$f'(p)=\binom{768}{162}\cdot \left(162-162p-606p\right)\cdot p^{161}\cdot \left(1-p\right)^{605}$

$f'(p)=\binom{768}{162}\cdot \left(162-768p\right)\cdot p^{161}\cdot \left(1-p\right)^{605}$

Im Bereich 0 < p < 1 wechselt die Ableitung an der Stelle p das Vorzeichen von Plus zu Minus, wo 162 - 768p = 0 ist, also wo p = 162/768 ist. Dementsprechend wird f(p) für p = 162/768 maximal.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n = 768 Versuchen genau k = 162 Erfolge dabei sind, wird also für eine Einzeltrefferwahrscheinlichkeit von

$p=\frac{162}{768}\approx 0\text{,}211=21\text{,}1\,\%$

maximal.

Answer 2

[Philipp3141]

Vielleicht, weil eine Binomialverteilung erst bei mehr als einem Versuch zur Geltung kommt und ihr hier nur ein einzelnes Experiment betrachtet.

Die Binomialverteilung untersucht praktisch die übergeordnete Wahrscheinlichkeitsverteilung eines bestimmten Experimentes mit n durchläufen.