Wahrscheinlichkeit Mathe WICHTIG?
Könnte mir jemand bei diesem Beispiel helfen? Ich habe morgen Klausur also benötige ich dringend Hilfe !!!
Ich verstehe die ersten beiden Terme, aber wie kommt man bei den letzten beiden auf D bzw F? Am meisten verwirrt mich das 4 über 1 im vorletzten Term und das 4 * ... im letzten, da ich nicht weiß, was diese Ausdrücke in dem Kontext bedeuten sollen.
Kann man das irgendwie verschriftlichen? Beim ersten Term kann man ja zb. sagen "Es ist 4 mal die Wahrscheinlichkeit, dass die LED nicht funktioniert -> keine LED funktioniert"; gibt es bei den anderen Termen auch eine Möglichkeit, das so aufzuschreiben? Ich glaube, dann wäre es leichter zu verstehen.
Bzw kann man das einfach irgendwie in Geogebra eingeben?
Vielen Dank für jegliche Hilfe!!!!
1 Antwort
Zunächst ist es sinnvoll, hier von rechts nach links zu arbeiten, also sich bei jedem der Ereignisse A bis F zu fragen: Was ist dessen Wahrscheinlichkeit. Und erst dann nachsehen, ob sie in der linken Tabelle steht und falls ja, wo.
Zunächst gilt nach Voraussetzung für jede der 4 LEDs:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass sie funktioniert, ist p(LED funktioniert) = 0,98
- und daher p(LED funktioniert nicht) = 1– p(LED funktioniert) = 1– 0,98 = 0,02
Als nächstes sollten wir die Wahrscheinlichkeit p(X=n) dafür berechnen, dass X einen bestimmten Wert n annimmt:
- p(X=0)
= p(genau 0 LEDs funktionieren)
= p(genau 4 LEDs funktionieren nicht)
= p(LED funktioniert nicht)·p(LED funktioniert nicht)
·p(LED funktioniert nicht)·p(LED funktioniert nicht)
- p(X=1)
= p(1 LED funktioniert und 3 LEDs funktionieren nicht)
= p(LED funktioniert)·p(LED funktioniert nicht)³
+ p(LED funktioniert)·p(LED funktioniert nicht)³
+ p(LED funktioniert)·p(LED funktioniert nicht)³
+ p(LED funktioniert)·p(LED funktioniert nicht)³
= 4·p(LED funktioniert)·p(LED funktioniert nicht)³
= 4·0,98·0,02³
- p(X=2) wird für die Aufgabe nicht benötigt
- p(X=3)
= p(1 LED funktioniert nicht und 3 LEDs funktionieren)
= p(LED funktioniert nicht)·p(LED funktioniert)³
+ p(LED funktioniert nicht)·p(LED funktioniert)³
+ p(LED funktioniert nicht)·p(LED funktioniert)³
+ p(LED funktioniert nicht)·p(LED funktioniert)³
= 4·p(LED funktioniert nicht)·p(LED funktioniert)³
= 4·0,02·0,98³
- p(X=4) = p(alle 4 LEDs funktionieren) = p(LED funktioniert)⁴ = 0,98⁴
A: Alle LEDs funktionieren
- Die W., dass eine LED funktioniert, ist 0,98. Daher ist die W., dass alle vier funktionieren:
- p(A) = p(X=4) = 0,98⁴ (s. o.)
- Dieser Wert steht nicht in der linken Tabelle.
B: Mindestens eine LED ist defekt
- also: nicht alle LEDs funktionieren:
- Dieser Wert steht in der 2. Zeile der linken Tabelle.
C: Mindestens 3 LEDs sind defekt
- also: genau 3 LEDs sind defekt oder alle 4 LEDs sind defekt
- also: genau 1 LED funktioniert und 3 LEDs funktionieren nicht, oder alle 4 LEDs funktionieren nicht
- bei insgesamt 4 LEDs gibt es 4 Möglichkeiten, dass genau 1 LED funktioniert:
- p(C) = 4·p(X=1) + p(X=0) = 4·0,98·0,02³ + 0,02⁴
- Dieser Wert steht in der 4. Zeile der linken Tabelle.
D: Höchstens 1 LED ist defekt
- also: genau 0 LEDs sind defekt oder genau eine LED ist defekt
- p(D) = p(X=4) + p(X=3) = 0,98⁴ + 4·0,02·0,98³
- Dieser Wert steht in der 3. Zeile der linken Tabelle.
E: Eine LED funktioniert
- p(E) = p(X=1) = 4·0,98·0,02³
- Dieser Wert steht nicht in der linken Tabelle.
F: Keine LED funktioniert
- p(E) = p(X=0) = 0,02⁴
- Dieser Wert steht in der 1. Zeile der linken Tabelle.
Zur Bedeutung der Rolle des Terms "n über k" bei der Binomialverteilung siehe z. B. den Wikipedia-Artikel dazu. "n über k" ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge von n Elementen k Elemente auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Z. B. hat eine Menge von 4 Elementen "4 über 2" = 6 verschiedene Teilmengen, und aus 4 Elementen hat man 4 verschiedene Möglichkeiten, ein Element auszuwählen, also "4 über 1" =4. Genau das braucht man oben bei Ereignis bei D: Wenn nämlich 1 LED von 4 defekt ist, gibt es 4 Möglichkeiten für dieses Ereignis; bildlich: oxxx, oxoo, ooxo und ooox.