Wahrscheinlichkeit berechnen: Hilfe zur Aufgabe?
Hallo, ich wiederhole gerade die Wahrscheinlichkeiten in Mathe und bin mir nicht sicher, wie man folgende Aufgabe rechnet:
Die Pin einer Bankkarte besteht aus 4 Ziffern. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,...
a) ... dass die letzte Ziffer durch 4 teilbar ist?
b) ... dass die erste Ziffer eine Primzahl ist?
c) ... dass alle Zahlen gleich sind?
d) ... dass die Pin "1234" oder "5439" lautet?
e) ... dass nach 2 Fehleingaben der dritte Versuch erfolgreich ist?
Kann mir das bitte jemand erklären?
Danke.
3 Antworten
Hallo.
Die grundlegende Art und Weise, wie man Wahrscheinlichkeiten bestimmt, ist das Zählen der Anzahl aller möglichen Ausgänge insgesamt (G) und das Zählen der Anzahl aller Ausgänge davon, die gesucht sind (E) (E für 'Ereignis'). Du hast also zwei Mengen, G und E, zählst ihre Elemente und erhältst die Zahlen #G und #E. Dann ist P(E) = #E / #G.
Die Wahrscheinlichkeit P(E) gibt also wieder, zu welchem Anteil ein Ereignis eintrifft, wenn aus G beliebig gewählt wird.
Aber konkreter, schauen wir uns Aufgabe a) an: Die Pin einer Bankkarte besteht aus 4 Ziffern. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte Ziffer durch 4 teilbar ist?
Schauen wir zuerst, was genau G ist und welche und wie viele Elemente G enthält.
Gefragt ist nach der letzten Ziffer der Pin, für diese letzte Ziffer gibt es insgesamt 10 Möglichkeiten, nämlich die Zahlen von 0 bis 9. G ist also die Menge der Zahlen von 0 bis 9, ihre Mächtigkeit (also die Anzahl der Elemente) ist #G = 10.
Jetzt schauen wir, was genau E ist und wie viele Elemente E enthält. E lautet "die Ziffer ist durch 4 teilbar" und zur Verfügung stehen dazu die Elemente von G, also die Zahlen von 0 bis 9. Von diesen Zahlen sind drei durch vier teilbar, nämlich 0, 4 und 8. E besteht also aus den Elementen 0, 4 und 8 und hat die Mächtigkeit #E = 3.
Jetzt teilen wir, um die Wahrscheinlichkeit von E zu bestimmen:
P(E) = #E / #G = 3 / 10 oder auch 0,3.
Mit diesen Informationen solltest Du auch Aufgabenteile b, c und d lösen können.
Als Tipp noch: Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler hat, nämlich die 1 und sich selbst. Zum Beispiel ist 15 keine Primzahl, denn man kann 15 durch 1, 3, 5 und 15 teilen. Das sind zu viele Teiler.
Zweiter Tipp: Wenn es nur um eine Ziffer geht, hat G die Elemente 0 bis 9 und #G =10. Wenn es um mehrere Ziffern geht, wie beispielsweise die gesamte Pin, hat G mehr Elemente, zum Beispiel die Pins 0000 bis 9999 (Wie groß ist dann #G?)
Die Hauptarbeit bei diesen Aufgaben ist oft, G und #G richtig zu bestimmen und ganz besonders E und #E. Sei dabei besonders gründlich!
Jetzt noch zu Aufgabe e). Einerseits geht es darum, dass mehrere Versuche miteinander verknüpft werden müssen, andererseits kommt hier ein großer Knackpunkt bei allen Wahrscheinlichkeitsaufgaben zum Tragen: Die Frage, worum es eigentlich genau geht und was genau eigentlich passiert. Das klingt ziemlich offensichtlich, ist aber in vielen Fällen ein ordentlicher Stolperstrick.
Schauen wir uns die Aufgabe an. Die Situation ist, dass es zwei Fehlversuche gegeben hat und im dritten Versuch die korrekte Pin eingetragen wird. Das Experiment "ich trage zufällig eine Pin ein" wird also insgesamt drei Mal ausgeführt.
--- Einschub ---
Klären wir erst mal, wie man mehrere Wahrscheinlichkeiten zusammenführt:
Angenommen, ich habe einen Termin, möchte aber vorher noch einen Apfel kaufen. Der Laden hat drei Apfelsorten im Angebot, dass ich einen roten kaufe hat also die Wahrscheinlichkeit 1/3 (wir gehen mal davon aus, dass ich zufällig irgendwas kaufe). Ich kann aber ausschließlich dann überhaupt einen Apfel kaufen, wenn mein Bus pünktlich ist, was er (böser Bus!) nur mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ist.
Wenn wir uns also alle Abläufe der Situation anschauen, stellen wir fest, dass ich in der einen Hälfte der Fälle gar keinen Apfel kaufen kann, weil der Bus zu spät ist. Wir haben also nur die übrige Hälfte der Fälle übrig, in der ich überhaupt einen Apfel kaufen kann. Also, nur in der Hälfte aller Fälle kann ich einen Apfel kaufen und nur in einem Drittel dieser Hälfte aller Fälle kaufe ich einen roten Apfel. Die Wahrscheinlichkeit für 'roter Apfel' ist also 1/2 wegen des Busses und davon dann noch mal 1/3 wegen der Apfelwahl. Wie viel ist jetzt 1/3 von 1/2? Wir müssen das 1/2 noch mal durch 3 teilen. In anderen Worten, wir müssen 1/2 mal 1/3 nehmen, also (1/2) * (1/3) = 1 / 6 rechnen.
Zusammengefasst: Wenn mehrere Ereignisse aufeinanderfolgen, muss man, um die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ausgangs zu berechnen, die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse, deren Abfolge zu diesem Ausgang führt, miteinander multiplizieren. (Also wie oben, "der Bus ist pünktlich" und "ich wähle den roten Apfel")
--- Einschub Ende ---
Welche Abfolge von Ereignissen führen also zum gefragten Ausgang und wie Wahrscheinlich sind die einzelnen Ereignisse?
Das erste Ereignis ist "ich gebe eine falsche Pin ein", oder anders ausgedrückt, "ich gebe irgend eine Pin ein, aber nicht die richtige". Bei Wahrscheinlichkeiten hilft es oft, sich auch die Gegenteile der Ereignisse zum besseren Verstehen anzuschauen. Also: Es gibt #G = 10000 mögliche Pins, von denen alle falsch sind außer einer, damit ist E die Menge aller falschen Pins und #E = 10000 - 1 = 9999. Die Wahrscheinlichkeit ist also P(E) = 0,9999.
Im zweiten Durchlauf geschieht das gleiche, eine falsche Pin wird eingetragen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beim zweiten Ereignis ist also ebenfalls P(E) = 0,9999.
(Knackpunktalarm! Näheres dazu gibt es gleich unten!)
Im dritten Durchlauf muss nun die richtige Pin eingetragen werden, so dass wir nur ein einziges Element in E haben, nämlich die richtige Pin. P(E) = 0,0001 weil wir #E / #G = 1 / 10000 rechnen müssen.
Jetzt am Ende bringen wir für die gefragte Wahrscheinlichkeit des in der Aufgabe vorgegebenen Gesamtereignisses die einzelnen Wahrscheinlichkeiten zusammen.
P("es passiert wie in e) beschrieben")
= P("falsche Pin im ersten Versuch")
* P("falsche Pin im zweiten Versuch")
* P("richtige Pin im dritten Versuch")
= 0,9999 * 0,9999 * 0,0001
= 0,000099980001
Und jetzt wie versprochen zum Knackpunktalarm:
Es gibt einen Unterschied zwischen "zwei mal eine falsche Pin eingeben" und "ein Mensch gibt bei seinen Versuchen zwei mal eine falsche Pin ein". Denn niemand würde beim Versuch, die richtige Pin zu finden, zwei mal die selbe, falsche, Pin eingeben, sondern im zweiten Versuch eine andere ausprobieren. So gesehen könnte man die Situation auch so interpretieren, dass im ersten Versuch frei falsch gewählt wird mit P(E)=0,9999 aber im zweiten Versuch die falsche Pin aus dem ersten Versuch nicht erneut gewählt wird, wir dort also zwei mögliche Ausgänge herauslassen müssen und dort P(E)=0,9998 wäre. Dann käme ein etwas anderes Endergebnis heraus.
Welche dieser Interpretationen die richtige ist, geht aus dem Aufgabentext leider nicht hervor, so dass man sich für eine der Interpretationen entscheiden müsste. Wenn ich als Schüler diese Problematik bemerken würde, würde ich entweder den Lehrer fragen, was gemeint ist, oder falls das nicht geht, diesen Gedanken als Bemerkung zur Lösung der Aufgabe dazuschreiben, etwa so: "Bei Aufgabe e) bin ich davon ausgegangen, dass eine Maschine stumpf eine beliebige Zahl wählt und es möglich ist, dass die gleiche falsche Pin im ersten und zweiten Versuch eingegeben wird."
Viele Grüße!
Bei dem Schwierigkeitsgrad von a) bis d) im Vergleich gebe ich Dir recht. e) wird nicht so kompliziert gemeint sein. Dennoch ist e) ein gutes Beispiel dafür, wie wichtig es ist, Wahrscheinlichkeitsaufgaben genau zu lesen - und vor allem auch, diese präzise zu stellen, damit nicht jeder etwas anderes versteht.
a)
4 und 8 von 10
b)
3 5 7 von 10
c)
(1/10)^4 vorausgesetzt 0000 ist auch erlaubt
d)
es sind 2 von 10000
e)
chance für Fehleingabe ist
9999/10000 * 9999/10000 * 1/10000
Hallo,
gestatte mir ein paar kleine Anmerkungen:
a) 0 ist auch durch 4 teilbar
b) 2 ist auch eine Primzahl
e) ja, aber da gibts noch diesen Fallstrick, den ich in meiner Antwort erwähnt habe. Wie ist Deine Meinung zu dem?
Nicht böse gemeint, bin schon wieder weg! ;)
Viele Grüße!
a) zuerst mal musst du wissen wie es gemeint ist. durch vier teilbar also 0 4 8 ... oder nur 4 8 ?. Im einen Fall hast du 3 günstige und 10 mögliche im anderen fall 2 /20 ... also 20% bzw. 30%.
b) Primzahlen: 2,3,5,7 ... 1 ist nach Definition keine Primzahl. also 4/10 = 40%
usw...
zu : e) zu kompliziert für eine Schulaufgabe.
außerdem : Niemand täte ? es ? doch der , der der Auffassung ist , er hätte beim ersten Mal eine falsche Ziffer gedrückt.