Von Matrix A hoch 3 A hoch 1 bestimmen ?
Hallo
wie oben gefragt. Wie kann man eine Matrix hoch 3 wieder zu Matrix hoch 1 berechnen. Sagen wir mal die Matrix sei (32,31;93,94) und 32,31 sei die erste Zeile 93,94 die zweite Zeile.
Dankeeee
2 Antworten
Ist
A = ( a b ) und A^3 = ( 32 31 ) ( c d ) ( 93 94 )
kann man aus den Eigenwerten und Eigenvektoren auf a,b,c,d schließen:
A^3 hat nämlich die Eigenwerte, Eigenvektoren
125 zu z.B. w1=(1,3) und
1 zu z.B. w2=(-1,1)
also hat A die Eigenwerte, Eigenvektoren
l1 = 5 zu z.B. w1=(1,3) und
l2 = 1 zu z.B. w2=(-1,1)
d.h.:
A*w1 = l1*w1 und A*w2 = l2*w2
Das führt zu den vier Gleichungen:
a + 3b = 5 c + 3d = 15 -a + b = -1 -c + d = 1
Dieses System hat als Lösung:
a=2, b=1, c=3 und d=4
Es handelt sich also um 2 x 2 - Matrizen A = (p,q;r,s) und B = (32,31;93,94)
Gesucht sind nun die Zahlenwerte p,q,r,s , für welche dann die Gleichung A^3 = B gilt. Eine simple "Kubikwurzelfunktion" für Matrizen gibt es nicht, aber man kann nun doch einmal ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten p,q,r,s aufstellen und versuchen, eine Lösung (oder alle möglichen Lösungen) dafür zu finden.
Wie man das Gleichungssystem elementar lösen soll, weiß ich auch nicht. Aber eine Lösung mit ganzen Zahlen ist doch ersichtlich unter dem Wolfram-Link, den ich angegeben habe !
(Dass auch die verschiedenen komplexen Lösungen, welche Wolfram auch liefert, in der Klausur verlangt sein sollten, kann ich mir schlicht nicht vorstellen)
Für mich war die Lösung des Gleichungssystems leider zu schwierig, aber Freund Wolfram half weiter:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7Bp,q%7D,%7Br,s%7D%7D%5E3+%3D+%7B%7B32,31%7D,%7B93,94%7D%7D
es war eine Klausuraufgabe ohne Taschenrechner :D
Und leider habe ich auch nicht die Lösung :/ Bis zur Sprechstunde halte ich es auch nicht aus weil ich seit Tagen da dran hänge :/