Überfordert bei Physikaufgabe?

Bild1 - (Mathe, Physik)

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Es ist in jedem Falle empfehlenswert, mit Formelzeichen zu arbeiten und die Beziehungen zwischen den auftretenden Größen in Form von Gleichungen darzustellen:

Drehimpuls und Drehmoment

Nicht nur bei Drehbewegungen tritt ein Drehimpuls auf. Eine Masse µ mit der Geschwindigkeit |v›, also dem Impuls |p›, hat in Bezug auf einen Punkt O, von dem aus sie die relative Position |r› hat, den Drehimpuls

(DI1)    |L› = |r›×|p› = |r›×µ·|v›.

Im ersten Schaubild links habe ich die Drehimpulse eines Körpers relativ zu zwei Referenzpunkten O und O* dargestellt.

Eine Kraft |F›=|dp›/dt am Ort erzeugt in Bezug auf O das Drehmoment

(DM1)    |M› = |dL›/dt = |r›×|F›.

In einem Zentralkraftfeld ist der Drehimpuls erhalten, denn hier ist |F› immer parallel zu |r›. Daher gilt etwa mit der Sonne in O und einem gegebenen Planeten bei |r› auch das Zweite Kepler'sche Gesetz, dass |r› in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht.

Winkelgeschwindigkeit und Trägheitsmoment 

In jedem Fall überstreicht |r› von O aus in einer gewissen Zeit einen gewissen Winkelbereich, was durch die Winkelgeschwindigkeit |ω› beschrieben wird. Durch sie lässt sich auch |v› als |ω›×|r› darstellen, und (DI1) wird zu

(DI2)    |L› = µ·(|r›×(|ω›×|r›)) = µ(|ω›·‹r|r› – |r›·‹r|ω›)

ergibt, wobei ‹r|r›=r² und ‹r|ω› Skalarprodukte sind. Ist |ω› parallel zu |L›, so ist es natürlich senkrecht zu |r›, d.h. ‹r|ω›=0, und nur der Term µ·r²·|ω› bleibt übrig. Der lässt sich dann zum Trägheitsmoment

(TM1)    I = µ·r²

zusammenfassen, und (DI2) wird zu

(DI3)    |L› = I·|ω›.

Entsprechend lässt sich auch das Drehmoment als

(DM2)    |M› = I·|α›

ausdrücken, wobei |α› die Winkelbeschleunigung ist. 

Rotation eines Körpers um eine Haupträgheitsachse

Einen ausgedehnten rotierenden Körper kann man sich aus vielen kleinen Massen zusammengesetzt denkem, die mit einer gemeinsamen Winkelgeschwindigkeit um eine Achse rotieren, im Idealfall um eine Hauptträgheitsachse, sodass wirklich ‹r|ω›=0 ist.

Hier wird dann sinnvoll, mit r nicht den Abstand zum Schwerpunkt, sondern zur Achse zu bezeichnen (erstes Schaubild rechts), wie dies auch hier in der Aufgabe geschieht. Hier werden zudem Drehmoomente nur so ausgeübt, dass sie nicht die Achse verändern, und daher kann man mit den Beträgen rechnen:

(DIB1)    L = I·ω

(DMB1)  M = r·F = I·α

Für Drehungen sind I, ω, α, L und M das, was m, v, a, p und F für translatorische Bewegungen sind. Zudem müssen wir noch wissen, dass die Zentripetalbeschleunigungden Betrag

(ZB1)    a[z] = ω²·r

hat Damit haben wir das Rüstzeug, die Aufgabe zu lösen.

Die Aufgabenstellung

In Aufgabenteil a) und b) wollen wir die Zentrifugalbeschleunigung an der Peripherie erreichen und daher die Winkelgeschwindigkeit auf einen definierten Wert ω₂ erhöhen. Um den auszurechnen, müssen wir nur in (ZB1) a[z] =g setzen und erhalten

    (1.1)   g = ω₂²·r
⇔ (1.2)    ω₂ = √{g/r} = √{(9,81m/s²)/(50m)}  = √{0,1962/s²} ≈ 0,44/s.

Es ist auch eine Anfangs-Winkelgeschwindigkeit vorgegeben, nämlich

(2-1)    ω₁ = 2π/t₁ ≈ 6,2832/60s = 0,10472/s ≈ 0,105/s,

was etwa 0,07 U/s und somit rund 4,2 U/min entspricht. Die subtrahieren wir von ω₂, um

(2.2)    Δω := ω₂–ω₁ ≈ 0,335/s

zu bekommen, denn das brauchen wir, um Δt ausrechnen zu können. Mit dem konstanten Drehmoment

(3.1)    M = r·F = 5×10¹m·4×10²N = 2×10⁴Nm

können wir mit dem gegebenen Trägheitsmoment die Winkelbeschleunigung

(3.2)   α = M/I = 2×10⁴Nm/(4×10⁸Nms²) = 5×10⁻⁵s⁻²

(nicht s⁻¹ wie in der Lösungsvorgabe) ausrechnen. Damit ist b) schon mal zur Hälfte gelöst, und auch die Lösung von a) ist nun ein Einzeiler:

    (4.1)  α = Δω/Δt⇔ (4.2) Δt = Δω/α ≈ 0,335/s / 5×10⁻⁵s⁻² = 6,7×10³s ≈ 112min

Die Zahlen sind natürlich grob überschlagen.

Nun zur Zahl der Umdrehungen: Sie ist proportional zum Gesamt-Drehwinkel φ, der sich zu ω und α genauso verhält wie s zu v und a:

(5)    N = φ/2π = (ω₁·Δt + ½·α·Δt²)/2π = (ω₁·Δt + ½Δω·Δt)/2π
            ≈ (0,105/s·6,7×10³s + 2,5×10⁻⁵/s²·4,5×10⁷s²)/2π ≈ 187

Hier weicht die Lösungsvorgabe mit 5,1 Umdrehungen extrem ab, aber die kann ich sowieso nicht nachvollziehen: Schon die kleinere Drehfrequenz von 1/min müsste im Laufe von 112 bis 113min schon allein zu 112 bis 113 Umdrehungen führen.

In Aufgabenteil c) geht es im Unterschied hierzu darum, mit vorgegebener Zeit den Winkelgeschwindigkeitszuwachs Δω und damit die End-Winkelgeschwindigkeit ω₂ zu ermitteln.

Das Drehmoment und damit die Winkelbeschleunigung sind variabel, wobei ihre Zunahme allerdings immerhin abschnittsweise linear ist. Was sich hier anbietet, ist ein t-α-Diagramm (s.2. Schaubild).

Dort wird ω durch die Fläche zwischen Graph und t-Achse (Integral). Die Steigerung der Winkelbeschleunigung ist abschnittsweise konstant. Die Abschnitte nenne ich Δt[I], Δt[II] und Δt[III], und in diesen Zeitabschnitten wächst ω um Δω[I], Δω[II] bzw. Δω[III] (Indizes, hier nicht ohne Weiteres darstellbar).

Die maximale Winkelbeschleunigung α kennen wir. Natürlich könnten wir nun erst einmal die Steigungen in den Zeitabschnitten Δt[I] und Δt[III] ausrechnen, um dann eine „s=½at²“-artige Formel darauf loszulassen.

Das fiele allerdings unter die Redewendung: „Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht?“

Viel einfacher ist es, auf die Zeitabschnitte Δt[I] und Δt[III] die Dreiecksflächenformel

Grundseite×Höhe/2

loszulassen und natürlich auf Δt[II] die Rechtecksflächenformel

Grundseite×Höhe.

Die Höhe ist nämlich immer gleich, nämlich α. So bekommst Du

(6.1)    Δω[I] = ½·α·Δt[I] = 2,5×10⁻⁵s⁻²·1,8×10³s = 4,5×10⁻²s⁻¹
(6.2)    Δω[II] = α·Δt[II] = 5×10⁻⁵s⁻²·5,4×10³s = 2,7×10⁻¹s⁻¹
(6.3)    Δω[III] = ½·α·Δt[III] = 2,5×10⁻⁵s⁻²·0,9×10³s = 2,25×10⁻²s⁻¹
(6.4)    Δω = (4,5+27+2.25)×10⁻²s⁻¹ = 33,75×10⁻²s⁻¹ = 3,375×10⁻¹s⁻¹,

und da musst Du ω₁ addieren:

(7)    ω₂ = ω₁ + Δω = (1,047+3,375)×10⁻¹s⁻¹ = 4,422×10⁻¹s⁻¹

Das musst Du mit (60min/s)/2π multiplizieren, also mit etwas weniger als 10, um es in Umdrehungen pro Minute umzurechnen. Dies deckt sich mit der Lösungsvorgabe.

Grundlegende Zeichnung zum Drehimpuls - (Mathe, Physik) Zu Aufgabenteil c) - (Mathe, Physik)

M = I*dphi/dt

phi ist in dem Fall die Winkelgeschwindigkeit, wird auch oft mit einem kleinen Omega geschrieben.

Die Triebwerke sind von der Zentralachse jeweils 50m entfernt =>

M = 50m * 4*100N = 50m * 400N = 20000 Nm

Die Formel ganz oben Formen wir jetzt etwas um:

dphi/dt = M/I

und Integrieren nach der Zeit:

phi = Integral M/I dt

M/I ist jetzt in diesem Beispiel für den gesamten Beschleunigungsvorgang konstant (gilt nicht in Punkt c).

phi = M*t/I + phi0

phi0 ist die Winkelgeschwindigkeit vor der Beschleunigung.

Jetzt brauchen wir noch einen zusammenhang von Winkelgeschwindigkeit und Zentrifugalkraft.

F=m*phi²*r

Das soll jetzt einer Anziehungskraft wie auf der Erde entsprechen:

F = m*g

Durch vergleich der beiden Formeln kommt man jetzt auf den Zusammenhang:

phi²*r = g = 9.81m/s²

phi² = 9.81/50 = 0.1962

phi = ca. 0.443 rad/s

So jetzt kennen wir alle größen und setzen ein:

0.443 = 2*10^4 * t/4*10^8 + 2*pi/60

Die 2*pi/60 sind die Winkelgeschwindigkeit für eine Umlaufzeit von 1min in rad/s.

=> t = 6765.6s = 112.76min

Den Rest solltest du auf Basis von dem alleine schaffen.


Danke. Da wär ich selbst nie drauf gekommen

0

M = I*dphi/dt

stimmt leider nicht, jedenfalls nicht, wenn Du mit M das Drehmoment

M = ||r›×|F›| = dL/dt

meinst, wobei.

L = ||r›×|p›| = I·ω = I·dφ/dt

der Drehimpuls ist. Daher ist

M = I·d²φ/dt².

0
@SlowPhil

Ich habe mit phi wie angemerkt die Winkelgeschwindigkeit und nicht den Winkel bezeichnet.

Drehmoment = Trägheitsmoment * Winkelbeschleunigung und daher

M = dphi/dt

Wenn ich mit phi den Winkel bezeichnet hätte wärs natürlich falsch.

0

https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment#Vergleich_mit_der_Masse_bei_linearer_Bewegung

vielleicht hilft es, wenn du von folgendem Ansatz ausgehst:
Drehmoment=Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung.
Da du das Drehmoment mit 4*S*r hast kannst du schon b) berechnen.
Das Raumschiff hat ja am Rand schon eine Radialbeschleunigung durch die gegebene Winkelgeschwindigkeit.
Du mußt dann erst berechnen wie groß diese sein muß um g=9,81m/s² zu erreichen. Die Differenz zur gegebenen W.G. ist das Ziel der Winkelbeschleunigung durch das Drehmoment.
Dabei ergibt sich auch die Zeit nach a)
Mit weiteren Betrachtungen will ich mich jetzt nicht beschäftigen.
Leg mal los. Wenn es klemmt, kann ich die ja eventuell weiter helfen.

Danke für die Antwort!

Kannst du mir bei c.) einen Tipp geben. Stehe dort nun auf der Leitung:/

0
@Raph101

Hier handelt es sich um  nichtlineare Beschleunigungen in der ersten und letzten Schubphase, sie ändern sich mit der Zeit.
Versuche eine Funktionsgleichung dazu aufzustellen f(t) und dann das Integral für "v" über die Zeit berechnen.
Vielleicht hilft eine grafische Darstellung.
Auf die Schnelle kann ich dir dies jetzt nicht zeigen.

0

Ich hab eine funktionsgleichung aufgestellt. Aber diese bringt mich irgendwie kaum weiter. Die Integration der Gleichung bringt mir nur die Arbeit. Da kommt als Endergebnis was viel zu großes raus.

Ich stell mich wohl wirklich dumm an:D

0

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