Trägheitsmoment einer Kugel herleiten?

Moin.

Ich habe im Laufe meines Studiums ein Modul in der Physik, aber hatte seit 3-4 Jahren kein Physik mehr.. Eine kompliziertere Aufgabe lautete wie folgt und wollte fragen, ob jemand hier einen Lösungsansatz präsentieren könnte.

Grüße

Lenni

Answer 1

[michiwien22]

Du schreibst in Kugelkoordinaten (*)

$d\left(m\cdot r^2\right)\ =\ \rho\cdot2\pi\cdot r^4\ \sin^3n\ \theta\ d\text{r}\ d\theta\$

und integrierst über die Kugel:

$\int_{K\ }d\left(m\cdot r^2\right)\ =\ \rho\cdot2\pi\cdot\int_{_{r=0}}^{^R}\ \ \int_{_{\theta=0}\ \ }^{^{\pi}}r^4\ \sin^3\theta\ d\text{r}\ d\theta\ \ =\ 2\pi\rho\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot R^5$

Das Integral über den Winkel ergibt mit Zwischenrechnung:

$\int_{_0}^{^{\pi}}\ \sin^{3\ }\theta\ d\theta\ =\ \frac{4}{3}$

(*)

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Differentiale,_Volumenelement,_Fl%C3%A4chenelement,_Linienelement

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium technische Physik, promoviert in Festkörperphysik

Comments

[michiwien22]

Das n gehört oben natürlich raus: ist ein Tippfehler.

[Invictus0308]

Stark! Gute Hilfe, danke dir.

Answer 2

[Bellefraise]

Naja, das ist ein 3-faches Integral über den Radius und 2 Winkel (Elevation und Azimuth). . weil Volumen

Ich musste auch erst mal schauen . . .

https://physik-jena.de/login/veroeffentlichungen/artikel/artikel/artikel_traegheitsmomenteeinigerkoerper_thomaskaiser.pdf