Tangente von außen berechnen?
Gegeben ist die Funktion 3x^3 / (3x^2 - 4)
Ich soll die Tangenten bestimmen, die durch (1|-3) gehen.
Dafür könnte ich natürlich die allgemeine Tangentengleichung benutzten, dann hab ich aber eine Gleichung 5. Grades zu lösen und das kann ja irgendwie nicht die Lösung sein... Oder geht es echt nicht anders und ich muss dann raten oder numerisch vorgehen?
5 Antworten
Zunächst einmal prüfen wir, ob der Punkt auf der Kurve liegt oder nicht.
Wenn er darauf liegt, haben wir schon mal eine der Tangenten gefunden. In diesem Fall
y = f'(x0) * (x-x0) + y0 = -27 (x - 1) + (-3)
Für die weitere Rechnung haben wir nun auch x0=1 als eine der Lösungen, sodass wir hinterher das entstehende Polynom durch (x0-1) teilen können. Da es sich um eine Tangente handelt, ist die Berührung mindestens 1. Ordnung, d. h. x0=1 ist mindestens doppelte Nullstelle des Polynoms nachher.
Die Gleichung der Tangente, die den Graphen von f(x) in (x0|f(x0)) berührt, ist
t(x0)(x) = f'(x0) * (x-x0) + f(x0)
Einsetzen von
f(x) = 3 x^3 / (3 x^2 - 4)
f'(x) = 9 x^2 (x^2 - 4) / (3 x^2 - 4)^2
ergibt
t(x0)(x) = ( 9 x0^2 (x0^2 - 4) / (3 x0^2 - 4)^2 ) * (x - x0) + 3 x0^3 / (3 x0^2 - 4)
Dass t(x0) durch (1|-3) laufen soll, bedeutet
t(x0)(1) = -3
Eingesetzt
-3 = ( 9 x0^2 (x0^2 - 4) / (3 x0^2 - 4)^2 ) * (1 - x0) + 3 x0^3 / (3 x0^2 - 4)
Beide Seiten mit (3 x0^2 - 4)^2 erweitert, ausmultipliziert, alles auf eine Seite gebracht, gekürzt:
0 = 3 x0^4 + 2 x0^3 - 9 x0^2 + 4
Wir wissen, dass x0=1 eine doppelte Lösung ist (aber das könnten wir auch durch Ausprobieren herausfinden):
0 = (x0-1)^2 (3 x0^2 + 8 x0 + 4)
Eine quadratische Gleichung können wir lösen.
Betrachte die Funktion:
f(x) = 3*x^3 /(3*x^2 - 4)
mit erster Ableitung:
f´(x) = 3*(3*x^2 * (3x^2 - 4) - 3*x^3 *(6x))/(3*x^2 - 4)^2
= 3*((-9)*x^4 - 12*x^2)/(3*x^2 - 4)^2
= (-9)*x^2 * (3*x^2 + 4)/(3*x^2 - 4)^2
Bestimme alle möglichen Tangenten:
t(x, a) = f´(a) * (x - a) + f(a)
Bestimme nun alle a für welche die Tangente durch den Punkt (x = 1 | y = -3) gehen:
t(1, a) = -3 = f´(a) * (1 - a) + f(a)
--> -3 = [ (-9)*a^2 * (3*a^2 + 4)*(1 - a) + 3*a^3 * (3*a^2 - 4) ]/(3*a^2 - 4)^2
Die Lösung dieser Gleichung findest du hier (nur "real solutions")):
Und wie du bereits erkannst hast ist hier die Lösung eines Polynoms 5. Grades notwendig. Da die Lösungen nicht unbedingt gut zu erraten sind ist daher die Verwendung numerischer Methoden zu empfehlen.
Kannst Du ableiten?
Die Ableitung an der Stelle (1I-3) ist Steigung der Tangente im Punkt (1I-3).
D. h. Du hast das m(Steigung) einer Geraden(die Tangente) , die durch genau diesen Punkt gehen muss.
Nein, mindestens 2:
https://www.google.com/search?q=3x%5E3+%2F+(3x%5E2+-+4)
Bei -2 ca und bei -0,5
Ich denke, dass es auf eine Grenzwertbestimmung hinausläuft:
dy/dx, dx-->0
Das versteh ich nicht so ganz :D
Du meinst ich soll den Grenzwert der Ableitung für x gegen 0 bestimmen?
Habe es in eine neue Antwort verpackt, weil ich ein Diagramm brauchte.
Danke, aber was bringt mir diese Methode? Damit finde ich ja auch nur die Ableitung raus
Mit "Tangente von außen" ist die Annäherung von außen gemeint denke ich. In der Abbildung ist die Annäherung von innen abgebildet (wegen Sekante). die Steigung (Tangente) ist immer eindeutig. Außen/Innen macht keinen Sinn. Nur bei der Annäherung macht es Sinn.
Bei der Tangente von außen sollte ein Punkt gegeben sein, der NICHT auf dem Graphen liegt. Dies ist aber hier der Fall.
Aber er ist so zu behandeln:
Hier noch der Graph
https://www.google.com/search?q=3x%5E3+%2F+(3x%5E2+-+4)
Bei die Tangente an der Stelle x = -2 geht auch durch 1/-3
Für die anderen Lösungen das Gleiche. Nur frage ich mich wirklich, wie ich das ohne WA hinbekommen soll
Danke für den Hinweis. Nur sehe ich dann auch keine Lösung, die nicht numerisch wäre. Sorry.
Ja kein Problem :D Aber danke für deine Hilfe!
Differentialquotient:
Ich suche aber nicht die Tangente in dem Punkt sondern alle Tangenten des Graphen, die durch diesen Punkt gehen. Deswegen ja Tangente von außen