Substitution in Mathe?
Hallo!
ich soll von dieser Gleichung hier die Nullstellen mithilfe einer Substitution herausfinden:
f(x)= x^4 - 25/36 x^2 + 1/9
Ich weis zwar schon die Lösung, aber wie man darauf kommt fällt mir nicht ein. Kann mir mal jemand erklären, wie man das jetzt machen muss.
Danke!!!
4 Antworten
biquadratische Funktion y=f(x)=a4*x²+a2*x²+ao
Substitution (ersetzen) z=x² ergibt f(z)=a4*z²+a2*z+ao hat die Form einer Parabel
y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Normalform 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
f(z)=z²-25/36*z+1/9
p=-25/36 und q=1/9
z1,2=-(-25/36)/2+/-Wurzel((25/(2*36)²-1/9)=0,3472..+/-0,097822..
z1=0,3472+0,097822=0,44442... z2=0,3472-0,097822=0,2499..
z1=x1,2=+/-Wurzel(0,44442) und z2=x3,4=+/-Wurzel(0,2499)
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
Chapeau, wenn du die Wurzeln im Kopf ausgerechnet hast.
Sonst empfehle ich dir einen Taschenrechner, der mit Brüchen umgehen kann. Bei uns wurde damals an den Prüfungen 0.44442 statt 4/9 bzw. 0.444... als Fehler markiert.
Aber von der Vorgehensweise natürlich alles korrekt.
Substituiere x^2=z, danach hast du
und jetzt pq-Formel anwenden.
Als "Mathetrainer" hättest du "...=0" nicht vergessen dürfen!
Die pq-Formel lässt sich nur auf quadratische Gleichungen anwenden, nicht auf Terme ;-)
Du könntest einfach y := x² definieren und dann hättest du:
y² - 25/36 y + 1/9
Du kannst sicherlich die Mitternachtsformel anwenden und kämst dann auf:
y = 1/4, 4/9.
Nun zurück zu x:
Aus y = 1/4 folgt x = 1/2, -1/2
Aus y = 4/9 folgt x = 2/3, -2/3
Das erhältst du wenn du die Wurzel aus den Lösungen für y ziehst (da ja y = x²), und dann aber sowohl das positive als auch negative Ergebnis beachtest.
Für diejenigen, die es interessiert, biquadratische Gleichungen ganz ohne Substitution zu lösen:
