Streifenmodell unter und obersumme?
Hallo :)
Ich bin jetzt neu in der 12 und wir haben ein neues Thema, was ich nicht ganz verstehe. Wir sollen die Ober und untersumme bestimmen.
Jetzt über Bilder gemacht da ich das sonst nicht aufschreiben könnte
Hier ist ein Beispiel zu sehen. Ich habe das nicht so verstanden und wollte mal fragen, ob ihr mir das eventuell Schritt für Schritt erklären könntet? Und wie würde das mit 8 streifen aussehen?
2 Antworten
sieht doch schon gut aus:
Obersumme: Summe der Flächeninhalte der größeren Streifen (Rechtecke)
Untersumme: Summe der kleineren Rechtecke.
Bei Deiner streng monoton steigenden Funktion sind dazu immer die Breite und der größere (rechte) bzw. kleinere (linke) Funktionswert der Funktion notwendig.
Bei 8 Streifen hast Du dann die Breite 0,125 (1/8) - bei 16 dann 1/16 u.s.w.
Am Ende kommst Du drauf, dass die Obersumme immer kleiner, die Untersumme immer größer und der Grenzwert die Fläche unter der Funktion - das Integral ist ;-)
Viel Erfolg!
a) aufmalen (zeichnen ;-) )
Wie Bild 1 nur die Streifen nur ein Kästchen breit.
b) bunt machen (wie Bild 1)
c) Flächeninhalt der Einzelstreifen rot bzw. grün aufschreiben
(1/8 * größter (rot) bzw. kleinster (grün) Funktionswert im Intervall )
d) addieren
oder
Bild 2 - bei 8 Streifen ist die Breite 1/8
also
Un = 8 (Anzahl Untersummen ist 8, weil 8 Streifen)
U8 = 1/8 * f(0/8) + 1/8 * f(1/8) + 1/8 * f(2/8) + .... + 1/8 * f(7/8)
Obersummen:
O8 = 1/8 * f(1/8) + 1/8 * f(2/8) + 1/8 * f(3/8) + .... + 1/8 * f(8/8)
nun ggf. ausklammern (so wie im zweiten Bild)
naja und dann wieder ausrechnen
das ganze dann für 16 und für 32 machen ;-)
oder für n
Un = 1/n * f(0/n) + 1/n * f(1/n) + 1/n * f(2/n) + .... + 1/n * f((n-1)/n)
;-)
Viel Erfolg!
Oh ich habe das jetzt so aufgeschrieben allerdings weiß ich nicht das Ergebnis von der unter und Obersumme aber habe trotzdem das aufgeschrieben, wie gesagt nicht auf das Ergebnis weil ich nicht weiß wie man das in den Taschenrechner ein gibt außerdem konnte ich das nicht so gut zeichnen weil die Zahlen so klein waren
Nein - bei Un - es sollte nach meiner Meinung U8 heißen - weil Un = 8 = ... kann ja nicht stimmen, da kommt ja nicht 8 raus.
Du hast das zweite Produkt falsch - ich hatte des Dir ja schon aufgeschrieben - für die Untersumme brauchst Du die linken (kleineren) Werte
U8 = 1/8 * f(0/8) + 1/8 * f(1/8) + 1/8 * f(2/8) + .... + 1/8 * f(7/8)
es beginnt mit f(0/8) endet als mit f(7/8)
beim zweiten Produjt bist Du verrutscht von 0/8 auf 2/8 statt 1/8
die O8 sieht gut aus
Die Zeichnung wird besser, wenn Du den Maßstab vergrößerst :
2cm entspricht 1/8
Im Taschenrechner wird es halt etwas aufwendig - erst ausklammern dann:
U8:
0,125 *(0² + 0,125²+0,25²+0,375²+0,5²+0,625²+0,75²+0,875²)
für O8 ist das ganze verschoben es geht bei 0,125² los und endet mit 1²
Viel Erfolg
na
Untersumme
U8 = 1/8 * f(0/8) + 1/8 * f(1/8) + 1/8 * f(2/8) + .... + 1/8 * f(7/8)
geht bei f(0/8) also bei f(0) los
endet bei f(7/8) also bei f(0,875)
hingegen:
Obersummen:
O8 = 1/8 * f(1/8) + 1/8 * f(2/8) + 1/8 * f(3/8) + .... + 1/8 * f(8/8)
geht bei f(1/8) also bei f(0,125) los
endet bei f(8/8) also bei f(1)
die anderen Werte kommen in 1/8-Schritten dazwischen
Die Rechnung ist ansonsten die gleiche
Rechnung:
U8: 1/8 *( 0/64 + 1/64 + 4/64 + 9/64 + 16/64 + 25/64 + 36/64 + 49/64)
= 1/8 * (140/64) = 140/ 512 = 0,2734375
O8: 1/8 *( 1/64 + 4/64 + 9/64 + 16/64 + 25/64 + 36/64 + 49/64+ 64/64)
= 1/8 * (204/64) = 204/ 512 = 0,3984375
Du siehst auch hier, dass die Summanden um eins nach links verschoben sind (von oben nach unten) Unten wird vorn die 0/64 weggelassen und oben hinten die 64/64.
Viel Erfolg!
Sehr schön - und wenn Du das jetzt noch für 1/16 und 1/32 ... machst, dann sieht Du auch wie die monoton fallende Folge der Obersummen und die monoton steigende Folge der Untersummen sich einander annähern.
Der Grenzwert ist dann das Integral.
Dafür werden die Abstände / de Streifenbreiten ganz, ganz (infinitesimal) klein - und deshalb heißt das dann auch Infinitesimalrechnung ;-)
Vielen Dank!
ich weiß gar nicht wie ich aufschreiben soll...