Stochastik - Urnenaufgabe - Baumdiagramm?
Hallo ihr Lieben!! Ich bin so verzweifelt und bitte um Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
In einer Urne liegen 12 Kugeln, 4 gelbe, 3 grüne und 5 blaue Kugeln. 3 Kugeln werden ohne Zurücklegen entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen GENAU zwei Farben vor?
Ich weiß, dass die Rechnung folgender Maßen ist: 1-P(alleeineFarbe)-P(alleFarben)
jedoch weiß ich nicht, wie man zu diesem Ergebnis kommt.
P(alleeineFarbe) ist 3/44. P(alleFarben) ist wohl 6 * 4/12 * 3/11 * 5/10
Wie kommt das denn zur Stande? Woher kommt die 6 her? Und wieso werden zwar oben die Zahlen nicht kleiner, aber unten schon ? Ich bitte vielmals um Hilfe..
1 Antwort
Hallo,
da Du ohne Zurücklegen ziehst, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug.
Beim ersten Zug hast Du folgende Wahrscheinlichkeiten:
Gelb=4/12=1/3
Grün=3/12=1/4
Blau=5/12
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nun beim nächsten Zug.
Zum einen sind nur noch 11 Kugeln in der Urne, zum anderen fehlt natürlich die Kugel mit der Farbe, die beim ersten Zug gezogen wurde.
Wurde zuerst Gelb gezogen, sind nur noch 3 Gelbe im Spiel.
Wahrscheinlichkeit daher 3/11
Zuerst Grün: 2/11
Zuerst Blau: 4/11
Wie Du richtig erkannt hast, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen zweier unterschiedlicher Farben das, was übrigbleibt, wenn Du drei unterschiedliche Farben und nur eine einzige Farbe von 1 abziehst.
Hierbei mußt Du folgende Fälle unterscheiden:
Dreimal Gelb, also (4*3*2)/(12*11*10)
Dreimal Grün: (3*2*1)/(12*11*10)
Dreimal Blau: (5*4*3)/(12*11*10)
Wenn es drei unterschiedliche Farben sein sollen, sind es logischerweise Gelb, Grün und Blau, die aber in sechs unterschiedlichen Reihenfolgen gezogen werden.
Die Wahrscheinlichkeiten sind hier aber jeweils gleich:
Beispiel Gelb, Grün, Blau: (4*3*5)/(12*11*10)
Wegen des Kommutativgesetzes ist es natürlich egal, in welcher Reihenfolge Du die Faktoren multiplizierst. Das Ergebenis bleibt immer das Gleiche.
Du berechnest also die Wahrscheinlichkeit für eine der sechs Möglichkeiten und multiplizierst diese mit 6.
Zu dem Ergebnis addierst Du die drei vorhin berechneten Wahrscheinlichkeiten für dreimal Gelb, dreimal Grün und dreimal Blau und ziehst den ganzen Sums von 1 ab.
Herzliche Grüße,
Willy
Da der Nenner immer gleich ist, nämlich 12*11*10=1320, kannst Du 1/1320 ausklammern.
Du rechnest also 1-(1/1320)*(4*3*2+3*2*1+5*4*3+6*3*4*5)
Die sechs möglichen Reihenfolgen der drei Farben:
Gelb, grün, blau - Gelb, blau grün - Blau, gelb, grün - Blau, grün, gelb - Grün, gelb, blau - Grün, blau, gelb
VIELEN lieben dank!!!!!!
hast echt mein tag gerettet! kannst du mir bitte noch erläutern woher die 6 genau kommt also welche 6 möglichkeiten?