Stochastik - 1000x eine 6 würfeln?
Angenommen man hat 5 Milliarden Jahre Zeit 1000x hintereinander eine "6" zu würfeln (sechsseitiger Würfel), wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit dafür?
Generell liegt die Wahrscheinlichkeit 1000x eine 6 zu würfeln bei sage und schreibe
5,489084 * 10^(-780).
Das grenzt schon arg an Null, aber wenn wir das rein mathematisch betrachten, inwiefern würde diese lange Zeitspanne die Wahrscheinlichkeit für ein mal Erfolg erhöhen?
Es sei noch gegeben, dass 1x würfeln 5 Sekunden dauert und wenn wir non stop durchwüfeln wir insgesamt
1,57860000 x 10^16
Versuche haben.
Ich bin gespannt ..
2 Antworten
Coole Aufgabe! Bei 10^16 Würfen steigt die Wahrscheinlichkeit für 1000 Sechser in Serie auf fette 10^-762 an :)
Vorab: Für die Wahrscheinlichkeit „1000mal die 6“ komme ich auf 1/6¹⁰⁰⁰=1,4·10^-778. Und 1,5·10^16 Würfe dauern bei mir nur 2,5 Milliarden Jahre. Das mach den Kohl aber auch nicht fett.
Ich kann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten p(n) selbst nicht genau ausrechnen, aber ich habe zumindest eine rekursive Form gefunden (frag nach, wenn Dich die Herleitung interessiert):
p(0) = ... = p(999) = 0; p(1000) = 1/6¹⁰⁰⁰
p(n+1001) = p(n+1000) + 5/6¹⁰⁰¹(1-p(n))
Mit der (anfangs sehr guten) Näherung p(n)=0 bekomme ich eine obere Schranke:
p(n+1000) ≤ (5n+6)/6¹⁰⁰¹
Bei n=6¹⁰⁰⁰ Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit also noch unter ca. 5/6.
Wenn man diese obere Schranke in die Formel einsetzt, bekommt man auch eine untere Schranke:
p(n+1000) ≥ 1/6¹⁰⁰⁰ + 5/6²⁰⁰²[ (6¹⁰⁰¹-5006-5/2)n - 5/2·n² ]
Bei n=6¹⁰⁰⁰ (~10^778) Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit damit schon über ca. 1/2. Aber bei „nur“ 6^997 (~10^775) Würfen stehen die Chancen noch unter 0,4%.
Bei den jämmerlichen 6²¹ Würfen in ca. 5 Milliarden Jahren bleibt in beiden Schranken eine 6^980 (~10^762) im Nenner stehen. Das klingt nicht sehr ermutigend...
Irgendwo bei 0.9286252083099775·10^-762 (±10^-1524)
Nach meiner Rechnung schaffst Du in 5 Millionen Jahren doppelt so viele Würfe, also (3,1536·10^16). Das verdoppelt dann auch die Wahrscheinlichkeit auf 1,857·10^-762.
"Es sei noch gegeben, dass 1x würfeln 5 Sekunden dauert"
Möglicherweise müsste man da doch allenfalls erwägen, den Prozess auf elektronischem Weg um ein paar Zehnerpotenzen zu beschleunigen. Schon mein noch relativ lahmer Taschenrechner schafft in der Simulation ungefähr 100 Würfel-Ergebnisse pro Sekunde !
Wir gehen davon aus, dass ein Mensch würfelt aber das nonstop :)
Also was ist nun schlussendlich dein Ergebnis? Ich bin nicht sehr versiert in Mathe, daher meine Frage :P
Am besten in Prozent.. mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man 1000x eine 6 hintereinander wenn man dafür 1,5x10^16 Würfe hat..?
Danke für die Antwort!