Steilste Stelle einer Funktion?
Hey Leute,
Von der Funktion: (-1/10) * x^2 * (x^2 - 9) soll ich die Stelle mit der größten Steigung bestimmen. Also f''(x)=0.
Als Ergebnis habe ich 1,47 für x=1,22. Da es eine gerade Funktion ist: -1,47 für x= -1,22.
Aber wenn ich in die erste Ableitung für x noch größere Zahlen einsetze, etwa x=3, dann ist die Steigung 5,4, also größer. Aber bei x=3 ist kein Wendepunkt und trotzdem ist der Anstieg größer. Warum? Und wenn ich für x größere Werte einsetze, wird die Steigung ebenfalls größer. Wie genau definiert man also "die steilste Stelle"?
Liebe Grüße
Luacs
5 Antworten
Da die Ableitung der Funktion ein Polynom 3. Grades ist, wird die natürlich für x->+/- unendlich immer größer bzw. kleiner. Was du suchst sind lokale Maxima/Minima der Steigung, das heißt: Stellen, in deren Umgebung die Steigung in beide Richtungen erst mal wieder kleiner bzw. größer wird. Wenn nur nach der "steilsten Stelle" gefragt wird, ist das in dem Fall einfach eine ziemlich ungenaue Aufgabenstellung.
f(x)=-1/10*x⁴+9/10*x² hat die Form f(x)=a4*x⁴+a2*x² n=gerade → achssymetrisch zur y-Achse
Bedingung Achssymetrie f(x)=f(-x) und n=gerade hier Exponenten n1=4=gerade
n2=2=gerade
der Graph ist ein auf dem Kopf gestelltes W.
f´(x)=-4/10*x³+18/10*x
f´´(x)=0=-12/10*x²+18/10 → Nullstelle xw=+/-W(3/2)=+/-1,2247..
etwa x=3, dann ist die Steigung 5,4, also größer
Das bezweifle ich. Bei x = 3 ist die Steigung -5,4 und -5,4 ist kleiner als 1,44.
Es sei denn, es wäre nach dem Betrag der Steigung gefragt, was aber so nicht in der Frage steht.
f(x) blau und f'(x) rot sehen so aus:
Die Ableitungen = 0 zu setzen ergibt immer nur lokale Extrema. Will man die absoluten Extrema finden, muss man zusätzlich die Ränder des Definitionsintervalles untersuchen.
In deinem Fall hätte die Funktion also bei -∞ das Maximum der Steigung mit +∞
Nun, f"(x)=0 liefert nur lokale Hoch- oder Tiefpunkte der ersten Ableitung. Diese Stellen sind im übrigen die Wendepunkte von f(x).
Schau Die mal den Graphen von f'(x) genauer an.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D1%2F5*x%282x%C2%B2-9%29
Die größten Werte erreicht diese Funktion für x gegen unendlich.
Die steilste Stelle einee Funktion ist immer am Wendepunkt.
Diesen kannsg du mit der zweiten Ableitung berechnen.