Steilste steigung und steilstes gefälle berechnen anhand von Wendepunkten?
Stimmt es dass man die steilste Steigung und das steilste gefälle Anhand von Wendepunkten ausrechnen kann? Kann mir jemand erklären wie das nochmal ging?
Danke im Voraus
3 Antworten
Ja, frage dich, wo ist der Anstieg am größten? Na beim Wendepunkt. Jetzt noch mathematisch: maximaler anstieg, maximum vom anstieg, anstieg ist f', maximum von f', also f' von f', also f''.
für wp gilt f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0
Der "Wendepunkt" trennt nur "konvexe" und "konkave" Bögen einer Kurve.
Bedingung für Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null
Die 1.te Ableitung f´(x) von einer Funktion f(x) gibt die Steigung an jeder Stelle x an.
Sucht man an der 1.ten Ableitung f´(x) eine Extremstelle,dann muss man diese nochmal ableiten
also f´´(x)=0= .. Die Nullstellen ergeben dann die Extremwerte.
TIPP : Besorge dir privat ein Mathe-Formelbuch aus einen Buchladen und schau dir die Kapitel "Funktionen","Differentialrechnung", und "Differentialgeometrie" an.
Bücher sind : "Kuchling" ,Bornstein usw.Lass dich im Buchladen beraten oder schau dir die Bücher vorher an,falls möglich.
Angenommen wir haben eine auf dem Intervall [a,b] 3 mal stetig differenzierbare Funktion f(x) gegegeben.
Aufgrund der Stetigkeit der ersten Ableitung f´(x) wissen wir, dass f´(x) sein Maximum und Minimum auf [a,b] annimmt --> f´(x) ist beschränkt auf [a,b]
Lokal können wir diese durch Differentialrechnung bestimmen.
Für eine globale Aussage auf [a,b] müssen dann schließlich noch die Randwerte überprüft werden.
1.) Wir bestimmen nun die lokalen Extremstellen von f´(x) auf [a,b]
Notwendige Bedingung:
--> f´´(x) = 0 ---> L{ x(i) } mit 1 <= i <= n mit n aus IN
(wir erhalten n Lösungen x(i) für obige Gleichungen)
Hinreichendes Kriterium:
--> f´´´(x(i)) ungleich 0
f´´´(x(i)) < 0 ---> lokales Maximum
f´´´(x(i))) > 0 ---> lokales Minimum
Nehmen wir nun alle x(i) für die f´(x) lokal ein Maximum annimmt nach obiger Berechnung und nennen diese Menge M.
M = { x e L : f´´(x) = 0 und f´´´(x) < 0 }
2.) Globale Bestimmung:
mit dem Intervall [a, b] folgen die Ränder zu: x(a) = a und x(b) = b.
Wir suchen nun das Maximum aller lokalen Maxima auf [a, b], bzw die Stelle x(M) des globalen Maximums auf [a, b].
Berechne also:
f´(x) mit x aus M, x = a und x = b
Die Stelle an der der insgesamt größte Wert angenommen wird ist dann die Stelle des globalen Maximums.
Insbesondere folgt damit:
Sind f´(a) und f´(b) hinreichend klein und es existiert ein Wendepunkt mit positiver Steigung---> die größte Steigung auf [a,b] wird an einem Wendepunkt angenommen.
Ansonsten gilt:
Lokal stellt ein Wendepunt ein lokales Extrememum der Steigung einer Funktion dar (Kann Maximum oder Minimum sein)
Der Wendepunkt:
Er wird durch einen Wechsel der Krümmung der Funktion charakterisiert. Die Krümmung wird durch die 2. Ableitung einer Funktion beschrieben, diese macht eine Aussage darüber wie sich die Steigung der ursprünglichen Funktion verändert/verhält.
f´´(x) > 0 --> Die Steigung von f(x) nimmt zu
f´´(x) < 0 ---> Die Steigung von f(x) nimmt ab
(mit Steigung ist f´(x) gemeint)
Das "Krümmungsverhalten" ändert sich wenn f´´(x) also einen Vorzeichenwechsel durchführt. Wir suchen also die Stellen an dennen f´´(x) gleich 0 ist, dies sind potentielle Stellen wo f´´(x) sein Vorzeichen (seine Krümmung) wechseln könnte.
Um nun sicher zu gehen, dass f´´(x) tatsächlich an besagter Stelle einen Vorzeichenwechsel durchführt, überprüfen wir dann nur noch die Steigung von f´´(x) ( dies entspricht f´´´(x)). Ist diese Steigung nicht gleich 0, so können wir uns sicher sein, dass f´´(x) einen Vorzeichenwechsel durchführt. Welche Art von Vorzeichenwechsel kann man dann feststellen wenn man sich die Steigung der Funktion f´´(x) anschaut.
Aber ich denke das reicht jetzt erstmal an der Stelle.