Steigung der Ableitung ergibt mathematischen fehler?

Hi, folgende Aufgabe (siehe Bild)

ich habe jz in die Ableitung x=-1 eingesetzt und der Taschenrechner macht mathematischen Fehler, weil man ja auch nicht einfach den ln(x) von einer negativen Zahl nehmen kann. Nach Geogebra befinden sich weder Ableitung noch grundfuktion an der Stelle x=-1. Was soll ich dann als Lösung schreiben? Oder habe ich mich möglicherweise vertan? Meine Ableitung: 2*ln(3x-1)* (3/(3x-1))

Danke

Answer 1

[gauss58]

wolframalpha interpretiert f(x) = ln (3x - 1)² + (3 / 2) als f(x) = ln² (3x - 1) + (3 / 2)

Für die Eingabe ist eine zusätzliche Klammer erforderlich: f(x) = ln ((3x - 1)²) + (3 / 2)

Vielleicht macht Geogebra das genauso.

Comments

[Wechselfreund]

Die Klammer hilft tatsächlich. Aber das Log.gesetz ln a^b = b*ln a führt offensichtlich zu eine eingeschränkten Definitionsbereich. Ich staune gerade, dass man das hier nicht anwenden darf.

[gauss58]

@Wechselfreund

f(x) = ln ((3x - 1)²) + (3 / 2) = 2 * ln│(3x - 1)│+ (3 / 2)

Mit Betragsstrichen sieht die Sache anders aus. Man zieht ja quasi die Wurzel und die muss positiv sein.

[Wechselfreund]

@gauss58

Danke dir!

[lschnkt]

Okay also bezieht sich die ^2 auf die 3x-1 ? Dann ist die Ableitung ja schon falsch

[gauss58]

@lschnkt

Ja, das würde ich so sehen.

[lschnkt]

@gauss58

Geogebra scheint es auf den ln zu beziehen, der spuckt die selbe Ableitung aus, die ich raus habe

[Wechselfreund]

@lschnkt

schau hier mal (mit doppelter Klammer)

https://www.ableitungsrechner.net/

[Wechselfreund]

@gauss58

Was mich irritiert, warum ist das nicht das gleiche (siehe mein Kommentar)

Answer 2

[mihisu]

Das Quadrat soll sich hier wohl nur auf (3x - 1) beziehen, nicht auf ln(3x - 1) mit dem „ln“ davor. Gemeint ist also...

$f(x)=\ln\left(\left(3x-1\right)^2\right)+\frac{3}{2}$

Tatsächlich ist hier (wie bei mir) eine entsprechende zusätzliche Klammer sinnvoll, um zu verdeutlichen, worauf sich das Quadrat bezieht.

Bei GeoGebra hast du jedoch (ln(3x - 1))² + 3/2 statt ln((3x - 1)²) + 3/2 verwendet, was dementsprechend zu falschen Ergebnissen führt; und dass insbesondere dann auch der Definitionsbereich nur {x ∈ ℝ | x > 1/3} statt {x ∈ ℝ | x ≠ 1/3} als Definitionsbereich möglich ist, was dazu führt, dass bei dir -1 nicht im Definitionsbereich liegt.

============

Jedenfalls ist dann...

$f(x)=\ln\left(\left(3x-1\right)^2\right)+\frac{3}{2}$

$f'(x)=\frac{1}{\left(3x-1\right)^2}\cdot 2\cdot \left(3x - 1\right)\cdot 3=\frac{6}{3x-1}$

$f'(x_0)=f'(-1)=\frac{6}{3\cdot \left(-1\right)-1}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$

Der in Teilaufgabe gesuchte Anstieg der Tangente ist demnach -3/2.

Des Weiteren ist...

$f(x_0)=f(-1)=\ln\left(\left(3\cdot \left(-1\right)-1\right)^2\right)+\frac{3}{2}$

$\quad =\ln\left(\left(-4\right)^2\right)+\frac{3}{2}=\ln\left(16\right)+\frac{3}{2}=\ln\left(2^4\right)+\frac{3}{2}=4\cdot \ln\left(2\right)+\frac{3}{2}$

$\quad \approx 4\text{,}27$

Damit erhält man für die Gleichung der Tangente...

$t:\quad y=f'(x_0)\cdot \left(x-x_0\right)+f(x_0)$

$t:\quad y=-\frac{3}{2}\cdot \left(x-\left(-1\right)\right)+\underbrace{4\cdot \ln\left(2\right)+\frac{3}{2}}_{\approx 4\text{,}27}$

$t:\quad y=-\frac{3}{2}\cdot \left(x+1\right)+\underbrace{4\cdot \ln\left(2\right)+\frac{3}{2}}_{\approx 4\text{,}27}$

$t:\quad y=-\frac{3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}+\underbrace{4\cdot \ln\left(2\right)+\frac{3}{2}}_{\approx 4\text{,}27}$

$t:\quad y=-\frac{3}{2}\cdot x+\underbrace{4\cdot \ln\left(2\right)}_{\approx 2\text{,}77}$

====== Ergänzung zur Berechnung der Ableitung ======

Wenn man...

$h(x)=\left(3x-1\right)^2$

... betrachtet, kann man das als h(x) = u(v(x)) mit ...

$u(x)=x^2\quad \rightarrow\quad u'(x)=2\cdot x$

$v(x)=3x-1\quad \rightarrow\quad v'(x)=3$

... sehen und erhält dann entsprechend der Kettenregel...

$h'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)=2\cdot \left(3x-1\right)\cdot 3$

Wenn man...

$p(x)=\ln\left(\left(3x-1\right)^2\right)$

... betrachtet, kann man das als p(x) = g(h(x)) mit...

$g(x)=\ln(x)\quad \rightarrow \quad g'(x)=\frac{1}{x}$

$h(x)=\left(3x-1\right)^2\quad \rightarrow \quad h'(x)=2\cdot \left(3x-1\right)\cdot 3$

... sehen und erhält dann entsprechend der Kettenregel...

$p'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{\left(3x - 1\right)^2}\cdot 2\cdot \left(3x-1\right)\cdot 3$

Zusammen mit der Summenregel erhält man dann letztendlich...

$f(x)=\underbrace{\ln\left(\left(3x-1\right)^2\right)}_{p(x)}+\underbrace{\frac{3}{2}}_{q(x)}$

$\rightarrow\quad f'(x)=\underbrace{\frac{1}{\left(3x-1\right)^2}\cdot 2\cdot \left(3x-1\right)\cdot 3}_{p'(x)}+\underbrace{0}_{q'(x)}$

$\rightarrow\quad f'(x)=\frac{6}{3x-1}$

Answer 3

[Wechselfreund]

f(-1) = ln (3*(-1)-1)² +3/2 = ln 16 +3/2

Du hast bei Geogebra was falsches eingegeben

Comments

[lschnkt]

Ich muss die Stelle x=-1 doch in die Ableitung einsetzen oder nicht ?

[Wechselfreund]

@lschnkt

Genau. Aber was hast du denn als Ableitung raus?

[lschnkt]

@Wechselfreund

2*ln(3x-1)*( 3/(3x-1) )

[Wechselfreund]

@lschnkt

Tatsächlich interessant! Wenn man statt ln (3*x-1)² = 2 ln (3x-1) schreibt, ist der Definitionsbereich ein anderer...