Aufgabe zur Logarithmusfunkton und deren Ableitung?
Hallo zusammen,
Als Hausaufgabe in Mathe hatten wir eine Sachaufgabe im Mathebuch aufbekommen, bei der ich an einer Teilaufgabe nicht weiter weiß bzw. nicht weiß wie man sie lösen soll. Vielen Dank für eure Hilfe
Durch die Funktion f mit f(t) = ln(t+1) werden die täglichen Verkaufszahlen einer neuen Schokoladentafel nach Markteinführung beschrieben (t in Monaten, f(t) in Hundert).
c) Bestimmen Sie für einen beliebigen Wert von a mit 0 < a ≤ ln(3) einen Zwei-Monate-Zeitraum, in dem die täglichen Verkaufszahlen um a zunehmen.
2 Antworten
Wir suchen also nach zwei Monaten t1 und t2, sodass t2 = t1 + 2 und f(t2) - f(t1) = a.
Das heißt:
ln(t1+1+2) - ln(t1+1) = a
ln(t1+3) - ln(t1+1) = a
ln((t1+3)/(t1+1)) = a
Wir können dann den Wert von t1 berechnen, indem wir die Gleichung ln((t1+3)/(t1+1)) = a umstellen und lösen.
t1 = ln(a+1) - 2
Da 0 < a ≤ ln(3), müsste t1 in diesem Bereich liegen.
Somit wäre der gesuchte Zwei-Monate-Zeitraum t1 und t1 + 2.
Ich wollte mal schauen, ob chatgpt solche Fragen beantworten kann. Das ist das Ergebnis. Ergibt das Sinn? ich hab selbst nämlich keine Ahnung.
Um einen Zwei-Monate-Zeitraum zu bestimmen, in dem die täglichen Verkaufszahlen um a zunehmen, müssen wir zunächst die Ableitung der Funktion f(t) = ln(t+1) berechnen. Das ist die Funktion f'(t) = 1/(t+1).
Da die Verkaufszahlen steigen, wenn die Ableitung positiv ist, wissen wir, dass f'(t) > 0 für 0 < t < ∞.
Da wir nach einem Zwei-Monate-Zeitraum suchen, müssen wir zwei Monate zu einem bestimmten Wert von t hinzufügen und prüfen, ob die Ableitung in diesem Bereich immer noch positiv ist.
Daher können wir sagen, dass die Verkaufszahlen um a zunehmen, wenn t in dem Interval (t, t+2) liegt, wobei 0 < t < ∞.