Stammfunktion die in P( | ) einen Wendepunkt besitzt?
Guten Abend,
Ich schreibe morgen eine Mathe Klassenarbeit und ich habe Probleme mit einer Aufgabe. Es soll die Stammfunktion von f(x) = x^2 + ax + 2 ermittelt werden die in W(2|1) einen Wendepunkt bestizt. Bisher habe ich die Aufleitung :
F(x) = 1/3x^3 + 0.5ax^2 + 2x + c
Wie muss ich jetzt weiter rechnen wenn ich 2 Variablen habe, ich weiss dass F(x) = 2 ist und x = 1, aber den Rest finde ich schwierig.
Danke im Voraus ^^
3 Antworten
du hast nicht zwei Variablen, sondern eine Variable x und einen Parameter a, der für irgendeine Zahl steht.
a kann in der Berechnung wie eine Zahl behandelt werden.
Integral = Stammfunktion ( S ) ist korrekt
Entgegen der anderen Antwort ist beim Wendepunkt nur die zweite , nicht die erste Ableitung wichtig und c ist keineswegs zu vernachlässigen
S' = x^2 + ax + 2
s'' = 2x + a
0 = 2 * 2 + a >>>>>>>>>>>>>>>> - 4 = a
damit ist aber c noch nicht bestimmt !
Jetzt muß noch c bestimmt werden :
S(x) = 1/3x^3 + 0.5 * - 4 * x^2 + 2x + c
Einsetzen von ( 2 / 1 )
1 = 1/3 * 2 * 2 * 2 - 2 * 4 + 2 * 2 + c
1 = 8/3 - 8 + 4 + c
1 = 8/3 -4 + c
5 = 8 / 3 + c
15/3 - 8/ 3 = c = 7/3
Die richtige Funktion lautet also
S(x) = 1/3x^3 + 0.5 * - 4 * x^2 + 2x + 7/3
am Graph kann man erkennen , daß dem so ist
................
lass mal das c weg;
und f ' (2) = 0
weil F "(2) = 0
wegen Wendepunkt
und a berechnen.
Vielen Dank, hätte nie gedacht dass die Aufgabe so einfach ist :D Habe für a = -4
c verschiebt die Funktion entlang der y-Achse, was für den x Wert eines Wendepunktes unerheblich ist.
Ein Wendepunkt ist ein Punkt extremer Steigung, die Ableitung der Steigung muss also null sein. Beginnst du mit einer Stammfunktion F, ist deren Steigung F' = f, deren Extremum du über deren Ableitung, also f' bestimmst.
... und sag bitte nicht Aufleitung, das tut mir jedes Mal leid...
ich habe nicht von Aufleitung gesprochen . Mir tut das Wort nicht nur leid , sondern weh :)......... aber jetzt sehe ich , es wurde von F und f gesprochen .......... und ja , man kann entweder von f' ausgehen oder von F''...............
c kann man zwar ignorieren , ist aber m.E für die Lösung notwendig . Bitte korriegiere meine Antwort sonst.
man kann auch das ganze allgemein durchrechnen :
eine fkt dritten grades ist
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'' = 6ax + 2b
der Wendepunkt liegt also bei
0 = 6ax + 2b >>>>>> x = - 1/3 * b/a
da hier a = 1/3 und das b = 0,5 * ""a"" ( das ""a"" aus deiner Glg ! ) ist ,
gilt
x = ( - 1/3 * 0,5 * ""a"" ) / ( 1/3 ) = -1 * 0,5 * ""a"" = -0,5 * ""a"" ( 1/3 gekürzt )
setzt man jetzt x = 2 , wird ""a"" zu -4 , weil -0,5 * -4 = 2 ist .
Ergänzung zu anderer Antwort
ist c nicht 7/3 , dann ist der x - Wert des Wendepunktes zwar 2 , der f(x) - Wert aber nicht 1.
warum c vernachlässigbar ist und man f' für einen Wendepunkt braucht wird mir nicht schlüssig klar :)) aber vielleicht habe ich auch zu kompliziert gedacht.