Sind alle Parabeln ähnlich zueinander?

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5 Antworten

Ja:

Bei Parabeln im Sinne von "Grapen quadratischer Funktionen" (y = a x^2 + b x + c) ist es ziemlich einfach.

Bei Parabeln im Sinne von "Quadrik mit verschwindender Diskriminante" (oder wie das heißt) muss man erst auf Hauptachsen transformieren, am übersichtlichsten wohl mit Parabelachse = y-Achse.

Eine Verschiebung ist eine Ähnlichkeitstransformation (sogar Kongruenz-T.), also können wir den Scheitelpunkt auf (0,0) verschieben und erhalten

y = a x^2

Multiplikation beider Seiten mit a:

a y = a^2 x^2 = (a x)^2

woraus man sieht, dass die Parabel durch zentrische Streckung an (0,0) um den Faktor a aus der Normalparabel hervorgeht. Da eine zentrische Streckung eine Ähnlichkeitstransformation ist, folgt die Behauptung.

Ja. Der Streckfaktor einer Parabel ist auch der Streckfaktor im Sinne der Ähnlichkeit.

Ähm, oder auch nicht... Sorry. Das kann so nicht stimmen.

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Kommt drauf an, wie du ähnlich definierst.

Sind sie nur verschoben zueinander, haben sie immer noch die selbe Form und ich würde sie als ähnlich bezeichnen.

Sind sie allerdings gestreckt, dann würde ich sie nicht mehr als ähnlich bezeichnen.

hängt natürlich davon ab wie du genau "ähnlich" definierst.

Aber prinzipiell würde ich sagen:

Alle Parabeln, die den selben Streckfaktor in x UND y Richtung haben und die selbe Orientierung haben, sind ähnlich"
Mit Orientierung mein ich, ob es auf dem Kopf steht oder nicht.
Denn wenn eine Parabel nach oben offen ist und die andere nach unten, würde ich das nicht unbedingt als ähnlich bezeichnen.
Aber ob man das dann noch ähnlich nennt, ist geschmackssache.

Geometrisch gesprochen könntest du als ähnlich definieren, dass man Parabel a nehmen kann, irgendwie verschieben tut und eventuell noch um 180 Grad dreht und diese dann sich mit Parabel b deckt.

Oder eben einfach, wenn du eine Parabel ohne Streckungen zu machen in die andere überführen kannst.

Alle verschobenen Normalparabeln sind kongruent (deckungsgleich)

ähnlich sind alle Parabeln zueinander, weil sie durch zentrische Streckung aufeinander abgebildet werden können.

Ja. Sind sie.

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