Sich berührende Kreise. Konstruktion?

...komplette Frage anzeigen Konstruktion - (Mathematik, Geometrie, Kreis)

3 Antworten

Du schummelst!

Ich nenne die Kreise K, K1, K2 und K3. Die Gerade durch C und D heiße t.

E hat von AB den Abstand r, und von t den Abstand r/2. Deine Konstruktion findet nur einen Punkt S (=M3?) mit einem Drittel dieses Abstands r/2. Nun konstruierst Du den Schwerpunkt S eines beliebigen gleichschenkligen Dreiecks über t mit Spitze in E. Dieser Schwerpunkt teilt die Höhe r/2 im Verhältnis 1:2. Also |SE|=r/3. (Mit dem Strahlensatz hättest Du das auch erreicht.)

Deine Wahl von C und D ist willkürlich. Du hättest auch A und B statt M1 und M2 verwenden können, oder C und D auf K1 bzw. K2 oder beide auf K wählen können. Mir ist in keinem Fall geometrisch ersichtlich, warum S=M3 sein soll (rechnerisch passt das natürlich.)

So könnte es besser gehen:

  • E wie gegeben auf K über AB,
  • F liege auf K1 senkrecht unter M1.
  • EF schneide K1 in G.
  • M1G schneide ME in Z.

Behauptung: Z=M3.

Beweis: Dreieck M1FG ist gleichschenklig und ähnlich zu Dreieck ZEG. Also |ZE|=|ZG| q.e.d.

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Willy1729 15.04.2016, 19:27

C und D sind durchaus nicht willkürlich gewählt. Sie ergeben sich aus dem Schnittpunkt der gemeinsamen Tangente der beiden unteren Kreise, die parallel zur Strecke AB ist und den Verbindungen M1E und M2E ist. Alle diese Linien kannst Du zeichnen, wenn Du M3 noch nicht kennst. Der grüne Kreis und die beiden roten Kreise sind gegeben. Allein aus ihnen läßt sich das Dreieck CDE konstruieren, das somit kein beliebiges Dreieck ist. Erst mit Hilfe des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden dieses Dreiecks ergibt sich M3, der mit diesem Schnittpunkt - warum auch immer - identisch ist. Allerdings funktioniert die Methode wohl nur, wenn die beiden roten Kreise gleich groß sind, also den halben Radius des grünen Kreises besitzen.

Ich denke, das Problem hat etwas mit den Kreisen des Parrus zu tun, weiß aber nicht, ob es für diesen speziellen Fall noch einen besonderen Namen gibt.

Vielen Dank für die Rückmeldung. Die Herleitung über die Tatsache, daß sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 schneiden, ist einleuchtend.

Herzliche Grüße,

Willy


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ralphdieter 15.04.2016, 20:41
@Willy1729

C und D sind durchaus nicht willkürlich gewählt

  • Variante 1: AE und BE schneiden die gemeinsame Tangente t in C' und D'.
  • Variante 2: Seien C'' und D'' die Berührpunkte von t mit K1 bzw. K2.
  • Variante 3: t schneidet K in C''' und D'''.
  • Variante 4: Sei C'''' ein beliebiger Punkt auf t (der nicht auf ME liegt), und D'''' dessen Spiegelung an ME.

Jedes solche Punktepaar C*, D* bildet mit E ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schwerpunkt S (=M3) konstruierbar ist.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonisches_Problem

hier unter "Literatur" und da unter "Apollonische Berührproblem" gibt es zu dem Thema eine Pdf-Datei; vielleicht interessant für dich;

ganz schön kompliziert, finde ich.

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Willy1729 16.04.2016, 20:42

Hallo, Ellejolka,

vielen Dank für den Link. Ich war inzwischen auch schon darauf gestoßen. ein ähnliches Problem sind auch die Malfatti-Kreise, drei Kreise, die sich innerhalb eines Dreiecks berühren und über Hilfskreise und deren Tangenten zu konstruieren sind.

Meine Konstruktion funktioniert jedenfalls, wenn auch nur für diesen speziellen Fall, in dem die beiden Kreise unten gleich groß sind und halb so groß wie der große Kreis.

Es ist ein recht komplexes Gebiet. Kein Wunder, daß die normalen Mathebücher so etwas auslassen.

Willy

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Hallo Willy,

das ist mir zu hoch. Ich kann deiner Konstruktion zwar folgen, aber weiterhelfen kann ich dir leider nicht. Aber ich hab eine Frage an dich. Hoffentlich ist es nicht zu unpassend: Mit welchem Programm hast du die Grafik gezeichnet? Das würde mich sehr interessieren, da ich schon länger auf der Suche nach einem Programm bin, mit dem ich solche oder ähnliche Skizzen erstellen kann.

Viele Grüße, Matthias

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Willy1729 15.04.2016, 17:21

Hallo, Matthias,

das Programm Z.u.L. (Zirkel und Lineal) findest Du hier:

http://car.rene-grothmann.de/doc_de/

Es handelt sich um ein kostenloses Java-Programm, das - wie ich finde - genial gemacht ist.

Mit ein wenig Einarbeitung wirst Du sehr viel Freude daran haben. Auf der angegeben Seite findet Du auch Tutorials zu dem Programm.

Ich benutze es für alle möglichen geometrischen Aufgaben.

Herzliche Grüße,

Willy

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