Schwerpunkt eines geworfenen Gegenstandes im Koordinatensystem bestimmen?
Wie bestimmt man den Körperschwerpunkt eines geworfenen Gegenstandes, wenn man jeweils nur die Koordinaten seiner Endpunkte kennt?
Also beispielsweise bei einem Hammer (——] ), dessen Gewicht und Länge man nicht kennt:
Der Hammer wird in einem Bogen geworfen und man kennt die Koordinaten des Stielendes und des Kopfendes alle 0,5 sec. Dann hat man eine Liste an Koordinaten bis der Hammer wieder am Boden auftrifft. Der Hammer dreht sich im Flug um sich selbst. Mir ist klar, dass dieser Schwerpunkt nicht rotiert, aber wie bestimmt man ihn?
2 Antworten
Da fallen mir auf Anhieb zwei mögliche Ansätze ein. Der erste wäre: suche dir zwei Zeitpunkte, an denen der Hammer genau die gleiche Lage im Raum hat. Also bezüglich seiner Rotation. Sowohl das Kopf- als auch das Stielende liegen zu diesen Zeitpunkten auf der Wurfparabel. Damit kannst du die Gleichung der Wurfparabel bestimmen (Achsenabschnitt einfach willkürlich wählen, der ist dafür egal). Mit dieser Information kannst du die Koordinaten von Kopf- und Fußende korrigieren und würdest eine Abbildung der Rotation des Hammers erhalten. Der dann deutlich sichtbare Mittelpunkt der Rotation ist der Schwerpunkt. Du brauchst den Hammer nur zweimal einzuzeichnen (mit einer Drehung <> eines Vielfachen von 180%), wo sich beide Abbildungen kreuzen, liegt der Schwerpunkt. Nachteil: wenn du keine zwei Messungen hast, zwischen denen sich der Hammer um genau eines Vielfachen von 360° gedreht hat, kannst du diese Methode nicht anwenden.
Zweite Methode: Der Schwerpunkt eines Hammers liegt irgendwo zwischen Kopfende und Fußende (den mathematischen Beweis dafür bleibe ich jetzt schuldig, weil ich denke, dass das aufgrund der Form offensichtlich ist). Bilde für alle Punkte auf dem Hammer zwischen Kopfende und Fußende deren Flugbahn im Koordinatensystem ab. Nur beim Schwerpunkt wird das eine schöne Parabel ergeben (bei allen anderen Punkten wird's etwas eher wellenförmiges). Nachteil: da es natürlich unendlich viele Punkte zwischen Kopf- und Stielende gibt, du aber nur endlich viele Iterationen durchführen kannst, kannst du mit dieser Methode nur eine Näherungslösung ermitteln.
Es gibt bestimmt noch eine algebraisch korrekte genaue Lösung, da hab ich jetzt aber keine Lust, nachzudenken :)
Der Schwerpunkt bewegt sich in der Ebene mit konstanter Geschwindigkeit. Wenn du jetzt einen Punkt irgendwo bestimmst und dessen Lage über die Zeit anschaust, muss diese sich konstant ändern. Über unterschiedliche Teilung der Länge (also Lage das Schwerpunktes) könnte man sich so an eine Lösung annähern.