Scheitelpunktform in Nullstellenform?
Hallo,
wie kann ich die Scheitelpunktform in die Nullstellenform bringen? Kann ich da die Mitternachtsformel verwenden? Oder muss ich dazu die Scheitelpunktform erst ausmultiplizeren und in die allgemeine Form bringen?
Und wie würde es andersrum funktionieren? Also von der Nullstellenform zur Scheitelpunktform
3 Antworten
Schau mal, er erklärt das finde ich ziemlich gut:
Scheitelform —> Nullstellenform
Du hast 0 = a * (x-d)^2 + k , für passende a und k. Dann kannst du einfach -k/a = (x-d)^2 rechnen, auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und du hast dein Ergebnis. Für die Nullstellenform hast du f(x) = (x-x1)(x-x2) wobei du bei der oberen Gleichung deine Lösungen einfach als x1 und x2 definierst.
Nullstellenform —-> Scheitelform
Der Scheitelpunkt liegt immer symmetrisch zwischen den Nullstellen (wenn sie existieren), also hast du x_S = (x1+x2)/(2). Das setzt du in f(x) = ax^2+bx+c ein und erhältst den Funktionswert. Dann alles in a*(x-d)^2+k reinschreiben.
Oder muss ich dazu die Scheitelpunktsform erst ausmultiplizieren und in die allgemeine Form bringen?
Ja , unbedingt .
Gleich ein schwieriger Fall
3(x - 5)² - 8 ..............>>>>>................... 3x² - 30x + 67 ..........Ohne die pq oder abc-Formel kommt man meist nicht auf die Nullstellen : mit pq gilt nach durch 3
x1 , 2 = +5 + - wurzel(25 - 67/3 ) ..................NSt-Form : 3*(x - x1)(x-x2)
.
Andersrum ?Ausmulti und dann die quadratische Ergänzung
3x² - 30x + 67 ..................3*(x² - 10x) + 67
3*( (x-5)² - 25) + 67 .................fett ist die Quadratische Ergänzung , die man wieder abziehen muss , weil die 25 in (x-5)² dazugepackt wurden
3*(x-5)² - 75 + 67