Sattelpunkt polynomfunktion?
Die polynomfunktion mit dem Term f(x) = ax^3+bx^2+cx+d soll auf verschiedene Weise auf ihren Sattelpunkt/e untersucht werden.
eine Aufgabe lautet: Welche bedingungen müssen a,b,c,d erfüllen, damit es sich um einen Sattelpunkt handelt, geben Sie ein beispiel an.
ich hab das ganze Versucht mit Geogebra zu behandeln, kurz vorweg, ich hab die Mathematik erst in der 12. Klasse für mich "entdeckt" davor war alles für mich einfach nur wildes Zahlendurcheinander wo ich nichts geblickt habe.
a darf nicht 0 sein, sonst fällt das x^3 weg und es handelt sich um eine Parabel. Die 2. Ableitung einer Parabel ist niemals 0 und somit hätten wir keinen Sattelpunkt, ansonsten darf a jeden Wert annehmen.
d ist die Verschiebung auf der y-Achse, hat also wenig mit dem Graphen an sich zu tun.
so, jetzt gehts um c und d, nach geogebra müssen c und d nämlich 0 sein, ansonsten hat die Funktion keine Stelle wo gilt f´(x) = 0 , aber Warum? Ich versteh das nicht. Hat da jemand eine gute erklärung?
1 Antwort
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
Also muss sowohl die erste als auch die zweite Ableitung = 0 sein.
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f' '(x) = 6ax + 2b
Nun gilt:
f' '(x) = 0
6ax + 2b = 0
b = -3ax
f'(x) = 0
3ax^2 + 2bx + c = 0
c = - 3ax^2 - 2bx
mit b = -3ax
c = - 3ax^2 + 6ax^2 = 3ax^2
Wie du schon festgestellt hast, ist d egal.
Nun legen wir beliebig fest: a = 2, d = 3
und der Sattelpunkt soll bei x = 1 liegen.
Damit:
b = -6ax = -6
c = 3ax^2 = 6
Damit haben wir ein Beispiel:
f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 3
Das sieht so aus:
