Rechnung bei Wachstumsfunktionen?
Hey, ich schreibe morgen eine Matheklausur zu "Verknüpfung von Funktionen und Wachstum" und stehe bei einer Aufgabe gerade echt aufm Schlauch. Sie lautet:
"Eine Firma berechnet die täglichen Verkaufszahlen eines Handymodells, das neu eingeführt wird, modellhaft mit der Funktion f(t)=20 * (t-15) * e^(-0,01t) +300 (t: Anzahl der Tage nach Einführung des Modells). Sie erwirtschaftet einen Gewinn, wenn täglich mehr als 450 Handys verkauft werden. Berechnen Sie die Länge des Zeitraums, in dem ein Gewinn erwirtschaftet wird."
Die Antwort in den Lösungen dazu ist:
"Nach etwa 25 Tagen erwirtschaftet die Firma einen Gewinn durch den Verkauf des Handys. Nach etwa 392 Tagen sinken die Verkaufszahlen so stark, dass die Firma keinen Gewinn mehr erwirtschaftet. Die Firma erzielt demnach für etwa 367 Tage, also für etwas mehr als ein Jahr, einen Gewinn."
(Mein Mathebuch ist übrigens "Lambacher Schweizer - Mathematik Qualifikationsphase - Grundkurs" vom Klett-Verlag und die Aufgabe steht auf Seite 56.)
Ich habe versucht, die Gleichung mit der 450 gleichzusetzen und dann auszurechnen, aber das hat nicht funktioniert. Ich war so verwirrt, dass ich an der Stelle nicht weiter gerechnet habe, weil ich nicht wüsste wie.
Vielleicht habe ich mir irgendwo einen Denkfehler erlaubt oder ich war auf einem ganz falschen Weg. Wenn jemand weiß, wie man das rechnet (und mir möglichst noch vor morgen 7:50 Uhr antworten kann), wäre ich echt dankbar für jede Hilfe!
Danke schon mal im voraus! <3
3 Antworten
Hallo,
die Lösungen für t sind 24,59 Tage und 391,64 Tage.
An diesen beiden Zeitpunkten werden genau 450 Handys verkauft.
Dazwischen liegt der Verkauf höher. Das ist der Zeitraum zwischen Tag 25 und Tag 391.
Wie kommt man darauf?
Du hast bei Deinen Bemühungen bemerkt, daß sie nicht zum Ziel führen.
Das können sie auch nicht, denn es ist nicht möglich, eine Gleichung, bei der die Variable mal als Faktor, mal als Exponent auftaucht, mit Äquivalenzumformungen zu etwas wie t=... umzuformen.
Entweder also überläßt Du die Lösung der Gleichung einem Rechner, der in den meisten Fällen aber nur eine von zwei möglichen Lösungen liefert,
oder Du gibst die Gleichung als Funktion von t in einen Plotter ein, so daß Du am Graphen die beiden Nullstellen ablesen kannst,
oder Du benutzt ein Näherungsverfahren wie das von Newton, das Dir aber nur die Nullstelle liefert, die in der Nähe Deines Startwertes liegt - Du mußt also schon immerhin eine Ahnung haben, wohin der Hase läuft -
oder Du bringst die Gleichung auf folgende Form:
y=u*e^u.
Das machen wir jetzt mal und ich sage Dir anschließend, wozu das gut ist.
20*(t-15)*e^(-0,01t)+300=450 |-300
20*(t-15)*e^(-0,01t)=150 |:20
(t-15)*e^(-0,01t)=7,5
So weit hättest Du auch kommen können, wenn Du nicht gedacht hättest, Du könntest den Faktor -300 vor dem e dadurch loswerden, daß Du auf beiden Seiten 300 addierst. Das geht natürlich nicht.
Die -300 ist durch eine Multiplikation mit dem e verknüpft, nicht durch eine Subtraktion. Du kannst sie also nicht durch eine Addition neutralisieren.
Wie es richtig geht, siehst Du an meiner Rechnung oder an der von Rhenane.
Nun müssen wir dafür sorgen, daß der Faktor vor dem e und der Exponent von e der gleiche Term werden.
Der Exponent lautet -0,01t, während der Faktor t-15 lautet.
Eine Multiplikation mit -0,01 auf beiden Seiten bringt uns schon mal in die richtige Richtung:
(-0,01t+0,15)*e^(-0,01t)=-0,075
Nun unterscheiden sich Faktor und Exponent noch durch den Summanden +0,15 im Faktor. Den bekommen wir da nicht so einfach weg. Macht aber nichts.
Es ist einfach, einen konstanten Summanden in einem Exponenten unterzubringen.
Multiplikation mit e^0,15 auf beiden Seiten ergibt unter Ausnutzung der Potenzgesetze:
(-0,01t+0,15)*e^(-0,01t+0,15)=-0,075*e^0,15
Nun substituieren wir den Term -0,01t+0,15 noch durch u und rechnen die rechte Seite aus und bekommen:
u*e^u=-0, 087 137 568 2
Weiter kannst Du mit Schulmathematik und mit Äquivalenzumformungen nicht kommen.
Nun gibt es eine Funktion, die herkömmlichen Berechnungen nicht zugänglich ist und die Lambertsche W-Funktion oder Omega-Funktion heißt.
Sie ist die Umkehrfunktion zu f(u)=u*e^u.
Wenn Du weißt, was u*e^u ergibt (und das wissen wir ja nun), liefert sie uns zu dem Ergebnis den bzw. die dazugehörigen Werte für u. Allerdings brauchst Du dafür ein Computerprogramm, denn Taschenrechner haben diese Funktion normalerweise nicht. Solche Programme sind aber kostenlos im Netz zu haben.
Ich benutze das kostenlose Programm Mathematik alpha, das im Lexikonteil, Unterpunkt Stichwortliste unter dem Stichwort Lambertsche W-Funktion (2) genau für dieses Problem einen Rechner bietet. Ich tippe -0, 087 137 568 2 dort ein und bekomme zwei Werte für u geliefert:
u1= -0.09590871
u2= -3.76638203
Da u=(-0,01t+0,15) ist, ist t=15-100u.
Einsetzen von u1 und u2 gibt Dir t1 und t2, die beiden Lösungen.
Der Vorteil bei dieser Methode ist, daß Du keine Ahnung haben mußt, ob es eine, keine oder zwei Nullstellen gibt und wo sie in etwa liegen. Du bekommst sie zuverlässig geliefert. Allerdings mußt Du unbedingt die Probe machen. Nicht immer führen die Werte für u zu einer Lösung der Gleichung, es gibt wie bei Wurzelgleichungen auch Scheinlösungen.
Hier aber sind beide Lösungen gültig, kannst es ja selbst ausprobieren.
Herzliche Grüße,
Willy
Diese Gleichung kannst du rein algebraisch nicht lösen. Du musst also ein Näherungsverfahren anwenden.
Auf mathelounge (Link) werden die Lösungen der Aufgabe z.B. mit dem Newtonverfahren angenähert. Man könnte auch eine Taylorreihenentwicklung in Betracht ziehen.
LG
Der Ansatz stimmt, aber Du hast erstens die Klammer falsch aufgelöst, denn Du müsstest 20e^... mit der Klammer multiplizieren, nicht das t mit der 20 und die 300 mit dem e. Und dann den Faktor 300 einfach durch addieren vom e wieder trennen geht natürlich auch nicht!
150=20(t-15)e^(-0,01t) |:20
7,5=(t-15)e^(-0,01t)
Mit "Standardverfahren" wird man hier nicht an die beiden Nullstellen kommen können. Da werden nur Näherungsverfahren weiterhelfen können...