Pyramide - Vektoren?

 - (Mathematik, rechnen, Oberstufe)

3 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo,

Du mußt Dir das Ganze bildlich vorstellen.

Zunächst hast Du ein Koordinatensystem.

Die x-Achse verläuft von links nach rechts, die y-Achse von vorn nach hinten, die z-Achse von unten nach oben, jeweils von negativ unendlich bis positiv unendlich.

Der Punkt S mit den Koordinaten (0|0|250) befindet sich also 250 Einheiten oberhalb des Nullpunktes (Ursprungs) des Koordinatensystems auf der z-Achse.

Die Punkte A und B liegen auf einer Achse, die in 100 Einheiten Abstand rechts von der y-Achse parallel zu dieser verläuft, wobei A 100 Einheiten vor der x-Achse liegt un B 100 Einheiten hinter der x-Achse.

Das Dreieck liegt also mit der Kante zu Deiner Blickrichtung mit der Spitze nach links gegen den Punkt S gelehnt.

Nun gibt es in diesem Dreieck eine Öffnung, durch die ein Sonnenstrahl zu einer bestimmten Zeit senkrecht (senkrecht zur Dreiecksfläche) hindurchfällt und das Innere der Pyramide beleuchtet.

Da Du seitlich auf die beschriebene Wand, also von der Kante aus schaust,

verläuft der Sonnenstrahl von rechts oben nach links unten entlang des Lichtschachtes, der bei Punkt (80|-60|50) in die Seitenfläche eingelassen ist.

Den Sonnenstrahl, der geometrisch gesehen mit dem Lichtschacht identisch ist, folgt einem Vektor, der von besagtem Punkt aus senkrecht zur Seitenfläche in das Innere der Pyramide führt.

Die Seitenfläche ist Teil einer Ebene, die von den Vektoren SA und SB aufgespannt wird, die beide von Punkt S ausgeht.

SA ist A-S, SB ist B-S, Du ziehst also die Koordinaten von A bzw. B jeweils von den Koordinaten von S ab und bekommst so die Richtungsvektoren der Ebene.

Senkrecht zu dieser Ebene ist der Normalenvektor, den Du als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren erhältst, der Vektor n.

Der Vektor, der den Lichtstrahl darstellt, ist also ein Vielfaches von dem Normalenvektor, der den Punkt (80|-60|50) als Stützpunkt hat.

Du hast also die Gleichung (80/-60/50)+s*n

Wenn Du wissen möchtest, wo der Strahl auf den Boden auftrifft, also auf die xy-Ebene, die durch die Gleichung z=0 definiert ist, mußt Du nur berechnen, für welches s 50+s*z-Koordinate des Normalenvektors gleich Null wird.

Diesen Wert für s setzt Du in die Vektorengleichung ein und bekommst die Koordinaten des gesuchten Punktes.

Du mußt dazu Vektoren addieren und subtrahieren können und wissen, wie man einen Vektor mit einem Skalar multipliziert und wie man ein Kreuzprodukt (Vektorprodukt) bildet.

Wenn Du diese Techniken nicht beherrschst, mußt Du sie Dir aneignen. Ansonsten kannst Du solche Aufgaben nicht lösen.

Herzliche Grüße,

Willy

Vielen Dank für den Stern.

Willy

1

Was ich aber nicht ganz verstanden hab, wieso man die Richtungsvektoren von SA und SB nimmt und nicht z.b. PB und dazu eine orthogonale? Was haben die Vektoren SA und SB mit dem Punkt P zu tun?

1
@blauWale

Die Orthogonale auf PB ist im Raum nicht eindeutig.

Stell Dir einen Fahnenmast vor. Du bekommst den Auftrag, an diesem Fahnenmast eine Querstange anzubringen, die genau senkrecht auf dem Mast steht (also waagerecht zum Boden).

Kein Problem? In welche Himmelsrichtung soll die Querstange denn zeigen? Kannst Du das allein der Information entnehmen, daß die Querstange senkrecht zum Mast stehen muß?

Im Raum ist eine Senkrechte erst eindeutig, wenn sie auch einen Bezug zu einem zweiten Vektor hat.

Du kannst natürlich auch den Normalenvektor zu PA und PB nehmen, aber nur zu PB wäre er immer noch frei um PB drehbar und damit nicht eindeutig festgelegt.

0

7a)

ich würde mit A,B,S eine Parameterform der Ebene aufstellen; dann den Normalenvektor bilden und dann mit Punkt P als Stützvektor und dem Normalenvektor als Richtungsvektor die Gerade des Sonnenstrahls aufstellen.

b) verstehe ich nicht.

b) verstehe ich nicht.

es ist wohl der Schnittpunkt der "Schachtgeraden" mit der Grundfläche gesucht.

1

Tip Strahlensatz

Auf der einen Seite ist ein Schacht in der Pyramide. Die Kord. hast du alle gegeben.

Was möchtest Du wissen?