Vektoren Rechnung , Pyramide?
Hallo,
die Aufgabe lautete : Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und der Spitze S hat die Eckpunkte A(1|3|2) und B (1|7|2) , die Höhe der Pyramide beträgt 4 cm. Bestimmen sie die Punkte C,D und S.
Ich weiß nur , dass ich es irgendwie so ausrechne , indem ich weiß , dass alle Strecken so lang wie AB sind . Kann mir jemand Helfen wie ich es hinbekomme?
Vielen Dank
4 Antworten
Hallo,
normalerweise wird ein dreidimensionales Koordinatensystem so dargestellt, daß die x-Achse vom Ursprung aus nach vorn, auf den Betrachter zu, zeigt (hier ist dann der negative Bereich) und nach hinten (positiver Bereich).
Die y-Achse verläuft vom Ursprung (0|0|0) aus nach links (negativ) und nach rechts (positiv), während die z-Achse nach unten (negativ) und nach oben (positiv) geht.
Die Punkte A und B, die Anfang und Ende einer Grundseite a des Quadrates bilden, auf dem die Pyramide steht, unterscheiden sich nur in der zweiten, der y-Koordinate, und zwar um vier Einheiten (hier: Zentimeter). a hat also die Länge 4 cm. Da die Punkte C und D, sowie die Spitze nicht gegeben sind, ist die Pyramide nicht eindeutig festgelegt. Sie ist um die Achse AB drehbar. So machen wir es uns einfach und drehen uns die Sache so, daß die Grundfläche der Pyramide parallel zur xy-Ebene liegt, in der Ebene, die durch den Punkt 2 auf der z-Achse geht.
Dann steht die dritte Koordinate der Punkte C und D schon einmal fest: sie ist ebenfalls 2.
Die zweite Koordinate von Punkt C ist die gleiche wie die von Punkt B, nämlich 7, die zweite von C ist die gleiche wie von A, nämlich 3.
Wir haben also für C (x|7|2) und für D (x|3|2).
Da wir wissen, daß die Seiten vier cm lang sind, müssen wir, um den jeweiligen x-Wert herauszufinden, diese 4 Einheiten jeweils zur ersten Koordinate von A und B addieren. 1+4=5.
Punkt C hat also die Koordinaten (5|7|2) und D hat (5|3|2).
Die Spitze der Pyramide schwebt in vier cm Höhe genau über der Mitte der Grundfläche.
Um die Mitte zu erreichen, gehst Du von Punkt A aus 2 Einheiten nach vorn und zwei Einheiten nach rechts; das ergibt für M die Koordinaten
(3|5|2), denn natürlich liegt auch M in der gleichen Ebene wie A, B, C und D und hat deswegen die gleiche z-Koordinate (wir hatten uns ja entschieden, in einer Parallelebene zur xy-Ebene zu bleiben).
Wenn Du von dort aus vier Einheiten in z-Richtung nach oben gehst, hast Du die Koordinaten der Spitze: (3|5|6).
Herzliche Grüße,
Willy
Naja, du hast ja schon den richtigen Anfang. Alle Strecken müssen so lang sein wie AB. Dann weißt du noch, dass sie alle auf der gleichen Höhe sein sollten (außer S natürlich), weil sonst die Pyramide schief wäre. Und zum Schluss soll es ja ein Quadrat sein, sprich die Strecken müssen alle senkrecht aufeinander stehen.
Falls du dir das schlecht vorstellen kannst, würde ich dir empfehlen, es ein mal aufzumalen, vielleicht wirds dann einfacher :-)
Du kannst es nicht "hinbekommen", weil es unendlich viele Lösungen dazu gibt (die Pyramide mit h=4cm und a=4cm) kann um die Gerade AB rotiert werden.
C (5/7/2) , D (5/3/2), S (3/5/6)