Wie ermittle ich diePunkte, an denen die Tangente den Graphen schneidet?
Ich hätte zur Zeit folgendes Problem: Bei der Aufgabe 4, bei der a) hatte ich am Schluss eine ganzrationale Funktion heraus und musste dementsprechend den x-Wert erraten. Bei der b ist dies nicht mehr möglich und folglich stehe ich auf dem Schlauch.
Aufgabenstellung: https://www.gutefrage.net/frage/punkte-an-dem-tangente-graph-schneidet?foundIn=list-answers-by-user#answer-191492105
3 Antworten
f(x) = x³ - 3x
f'(x) = 3x² - 3
P(0,5|f(0,5)) = P(0,5|-1 3/8)
Ich würde das so machen:
Tangente: t(x) = mx + b
Das m bekommst du durch die Ableitung (in dem Punkt):
m = 3x² - 3
m = 3*(0,5)² - 3
m = -2 1/4
=> t(x) = -2 1/4x + b
Das b bekommst du, indem du einfach den Punkt von oben einsetzt:
-11/8 = -9/4*1/2 + b
-11/8 = -9/8 + b
b = -2/8 = -1/4
t(x) = -9/4 x -1/4
Das kann man sich schon einmal zur Übung zeichnen lassen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x%C2%B3+-+3x%2C++-9%2F4+x+-1%2F4%29
Die Schnittpunkte erhältst du durch Gleichsetzen:
-9/4 x -1/4 = x³ - 3x
x³ - 3/4 x +1/4 = 0
4x³ - 3x +1 = 0
Einen Schnitt- / Berührpunkt kennen wir bereits, nämlich P. Diesen teilen wir als Linearfaktor heraus:
(4x³ - 3x +1)/(x-0,5)²
= (4x³ - 3x +1)/(x² - x + 1/4) = 4x + 4 4x³ -4x² +x ____________ 4x² -4x +1 4x² -4x +1 __________ 0
Den Linearfaktor müssen wir nur nullsetzen:
4x + 4 = 0
x = -1
Somit liegt der andere Schnittpunkt S bei S(-1|f(-1)) = S(-1|2).
Die Kurve hat bei 1 ein Minimum. Die Tangente hat damit die Steigung 0.
a) Der zweite Punkt hätte also auch y = -2.
Zu errechen ist also das x aus x³ - 3x = -2
Und das ist gewiss weder 1 noch 0,75, sondern -2.
S(-2|-2)
Okay, die Lösung ist 1 bzw 0,75, war zu einfach um drauf zu kommen :DDD