Problem beim Lösen einer Aufgabe mit einem Tetraeder?

 - (Schule, Mathe, Mathematik)

3 Antworten

Erste Variante:

Man könnte dies bspw. mit dem Satz von Gauß lösen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz

Wähle hierzu bspw. als Vektorfeld:

F = (x, 0, 0)^T

damit folgt die Divergenz zu:

div(F) = 1

entsprechend folgt damit durch Anwenden des Satzes von Gauß:

Int[O]{ F*n dA } = Int[V]{ div(F) dV }

wobei O der Oberfläche des Körpers entspricht, n der Flächennormale, welche aus dem Volumen hinauszeigt, und V, dem Volumen des Körpers. Es folgt hier also durch einsetzen:

Int[O]{ F*n dA } = V

Wählt man nun das Koordinatensystem entsprechend geschickt, so lassen sich die Integrale relativ schnell berechnen ... .

Die zweite Variante basiert auf dem intuitiven Prinzip von Cavalieri:

https://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Cavalieri

Hierzu zerschneiden wir den Körper in kleine Scheibchen der infinitesimalen Höhe dh und Querschnittsfläche A(h). Das so entstehende infinitesimale Volumen entspricht gerade: dV = A(h)*dh . Entsprechend lässt sich schreiben:

V = Int[-H, H]{ A(h) dh }

Man lege den Ursprung in die Mitte der unteren Fläche des ursprünglichen Tetraeders. Senkrecht dazu messe man die Höhe. Die Querschnittsfläche in der Höhe h berechnet sich dann einfach zu (lineare Abnahme der Kantenlängen mit der Höhe ... ):

H = sqrt(3)*a

A(h) = sqrt(3)*a²/4 + 3*sqrt(3)*(2a - a*h/H)²/4 = sqrt(3)*a²(1 + 3*(2 - h/H)²)/4

Einsetzen in das Integral liefert damit (beachte Symmetrie):

V = Int[-H, H]{ A(h) dh } = 2*Int[0, H]{ A(h) dh }

= 2*Int[0, H]{ sqrt(3)*a²(1 + 3*(2 - h/H)²)/4 dh }

= ... (da das Integral elementar ist erspar ich mir hier die Berechnung und Verweise nur auf Wolfram Alpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Int%5B0%2C+H%5D%7B+sqrt%283%29*a%C2%B2%281+%2B+3*%282+-+h%2FH%29%C2%B2%29%2F4+dh+%7D

)

= 4*sqrt(3)*a²*H = 4*sqrt(3)*a²*sqrt(3)*a = 12*a³

Somit lautet das Volumen V:

V = 12*a³

Die dritte Variante basiert auf einer Zerlegung des Körpers in mehrere bekannte Teilkörper, was nun aber ohne Zeichnungen zu umständlich zu erklären wäre ... .

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)

Hallo, ist das Ergebnis, das du bei der 2. Variante am Ende rausbekommst das endgültige Volumen des gesamten neu entstandenen Körpers?

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@sofia1511

Ja, sofern ich nicht irgendwo einen Flüchtigkeitsfehler gemacht habe.

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@poseidon42

Danke, das noch in Abhängigkeit des Tetraeders auszudrücken ist ja dann ein Kinderspiel dagegen

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Ich erkenne da 3 Objekte 5 gleiche Ursprungsflächen, 4 Vergrößerte und 4 die ich als Dach bezeichnen würde.

Korrigiere auf 6 Dächer, würde dann 4 mal das Vergrößerte in die Formel einbauen plus 1 mal die Ursprungsfläche und 6 mal das Dach

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Eine Ursprungsfläche um die doppelte länge a vergrößert könnte auch das 10 fache sein.

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hm weil es sich um die 3 fache Verlängerung zur Ursprungsfläche Fläche handelt, wehr es doch denkbar das es sich dann um das 49 Fache der Ursprungsfläche handelt oder eine anderes wachstum .

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Vielleicht kommst du weiter, wenn du die drei zusätzlich entstehenden Körpertypen siehst:

  • 4 gleiche Tetraeder wie das Original
  • 6 langgezogene Pyramiden ("Dach"; weiss die korrekte Bezeichnung nicht)
  • 4 Pyramidenstümpfe

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