Physik keine Ahnung. Bogenschütze-Aufgabe?

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1 Antwort

Die vektorielle (geometrische) Summe der beiden Kräfte F1 und F2, die von den Sehnenhälften aufgebracht werden bilden die Gegenkraft der vom Bogenschützen ausgeübten Kraft  F = 100 N.

Aufgrund der Symmetrie dieser beiden Kräfte gilt:  F1 = F2 = F

Kosinussatz:

(100 N)² = F² + F² - 2 · F · F · cos 60° = 2 · F² - 2 · F² · cos 60° = 2 · F² · (1 – cos 60°)

→  F² = (100 N)² / ( 2 · (1-cos 60°) = (100 N)² / 1

→  F = 100 N

Auf die Sehnenhälften wirkt je eine Kraft von 100 Newton.

Gruß, H.

Nun, da das Kraftdreieck 3 Winkel von je 60 Grad hat (gleichseitiges Dreieck) erübrigt sich hier ja  die Rechnung.
Auch wenn der Öffnungswinkel der Sehnen nicht gerade 120 Grad wäre also z.Bsp. 100 Grad, braucht man kein Kosinussatz.
Die Sehnenkräfte wären einfach F1=F2=F/(2*cos (50))

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@Viktor1

Die numerische Rechnung mit dem Cosinussatz habe ich nur sicherheitshalber angegeben. Die Sache mit dem gleichseitigen Dreieck (3 x 60° Innenwinkel) und die daraus resultierende triviale Lösung war mir schon klar, aber nicht jeder Fragesteller hat womöglich den gleichen Überblick.

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Aufgrund der Symmetrie dieser beiden Kräfte gilt:  F1 = F2 = F

Diese angenommene Symmetrie vereinfacht die Berechnung, aber sie ist nicht unbedingt gegeben, jedenfalls nicht beim japanischen Bogenschießen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Ky%C5%ABd%C5%8D#/media/File:Kyudo_Kai_01.jpg

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@Franz1957

Wie lautet ohne diese Vereinfachung und ausschließlich unter Verwendung der gegebenen Größen Deine Lösung, die mich als Autodidakt durchaus interessiert? 

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@Halswirbelstrom

Ohne diese Vereinfachung muß man die Kräftevektoren jeweils mit sin und cos ihres eigenen Winkels in Komponenten zerlegen. Auch hier gilt aber: Die beiden Komponenten parallel zum Pfeil addieren sich und die Komponenten senkrecht zum Pfeil heben einander auf. Es mit der Hand auszurechnen ist mühsam, aber mit einem Algebraprogramm ist es einfacher. Ich habe Maxima verwendet (http://maxima.sourceforge.net). Die beiden Winkel nenne ich hier a und b, ein- und ausgegeben werden sie in rad, die 120° entsprechen 2/3 Pi rad. Die beiden Kräfte in der Sehne nenne ich FA und FB. (%i2) ist die Eingabe, das Programm antwortet mit (%o2):


(%i2) solve([
a+b=%pi*2/3,
FA*cos(a)+FB*cos(b)=F,
FA*sin(a)=FB*sin(b)
], [b, FA, FB]);

(%o2) [[
b = -(3*a-2*%pi)/3,
FA = -(F*sin((3*a-2*%pi)/3))/(sin(a)*cos((3*a-2*%pi)/3)
-cos(a)*sin((3*a-2*%pi)/3)),
FB = (F*sin(a))/(sin(a)*cos((3*a-2*%pi)/3)
-cos(a)*sin((3*a-2*%pi)/3))]]
...


Nun noch zur Probe unter der Annahme des symmetrischen Falles mit a = b = Pi/3. Es kommt Deine Lösung mit drei gleich großen Kräften heraus.


(%i4) solve(
[a=%pi/3,
a+b=%pi*2/3,
FA*cos(a)+FB*cos(b)=F,
FA*sin(a)=FB*sin(b)],
[a, b, FA, FB]);

(%o4) [[a = %pi/3,b = %pi/3,FA = F,FB = F]]



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@Franz1957

Die Zerlegung der Kräfte in ihre x- und y-Komponenten ist die übliche Herangehensweise in der Statik. Sie ist nicht nur auf Spezialfälle beschränkt, sondern für den allgemeinen Fall, wie hier im zentralen ebenen Kräftesystem. Dabei ist der Rechenaufwand allerdings größer, wie die richtige Lösung mittels Deines Rechenbeispieles zeigt. Dabei ist es schon von Vorteil, wenn geeignete Computerprogramme zur Verfügung stehen.

Gruß, H.

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@Halswirbelstrom

Die Bequemlichkeit, die so Programm bietet, kann allerdings auch dazu verleiten, daß man das, was es übersieht, ebenfalls übersieht. Was ist gestern übersah, ist, daß der ausgegebene Ausdruck sich noch stark vereinfachen läßt, indem man die 2 Pi aus den Winkelausdrücken entfernt. Werde mal nachlesen, ob ich da einen Schalter zu setzen vergaß.


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@Franz1957

Bei diesen ellenlangen Termen hat man nicht immer auf die Schnelle den großen Überblick und im Nu hat sich eine Unvollkommenheit oder ein Fehler eingeschlichen.

errare humanum est

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@Halswirbelstrom

Ja, vielen Dank, so ist es. Bei einer gute Tasse Tee verflüchtigen sich manche Gedankentrübungen dann auch wieder. Die 2 Pi habe ich schön stehen lassen, wo sie mit gutem Grund zu stehen hatten, aber dafür den Winkel b wieder hinein substituiert, so daß die Ausdrücke nun schon etwas freundlicher aussehen:

b = -(3*a-2*%pi)/3
FA = F*sin(b)/(sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)),
FB = F*sin(a)/(sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b))

Gruß, F.

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@Franz1957

Tipp: In der Menueleiste "EINFÜGEN" und dann "SYMBOL" anklicken. Hilft  beim Editieren.

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@Franz1957

Nun gilt ja:

(sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)) = sin(a+b)

Und da wir wissen, daß die Winkelsumme a+b = 2 pi/3 = 120° und sin(2 pi/3) = √(3)/2 ist, vereinfacht sich die Sache weiter:

FA = F*sin(b)*2/√3
FB = F*sin(a)*2/√3

Mein Gefühl sagt mir, daß es hierher auch einen eleganten Weg zu Fuß geben könnte...

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