Nullstellen bei Ganzrationalfunktionen?
hallo ich habe folgendes Problem:
Ich soll bei dem Term f(x)= x^4+3x^3-10x^2-3x+3 die Nullstellen finden.
Am besten in die Form der PQ-Formel umformen.
Das Problem was ich hier habe ist die Konstante ohne x und das x^3.
Wie schaffe ich es diesen Term in die PQ-Form zu bringen?
Danke im voraus!
MfG
3 Antworten
Hallo,
kannst Du vergessen.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Nullstellen.
Daher scheidet das übliche Verfahren - Nullstelle erraten und mit Hilfe von Polynomdivisionen das Polynom auf Grad 2 zu reduzieren - hier aus.
Ein Näherungsverfahren wie das von Newton liefert jeweils nur die Nullstelle, die in der Nähe eines Anfangswertes liegt.
Es bleibt die Formel von Cardano und Ferrari, die aber kaum jemand beherrscht und sehr aufwendig ist oder der Rechner, der so etwas ganz fix hinbekommt.
Zu Deiner Information:
Die vier reellen Nullstellen liegen bei
2,105291119; 0,4438039671; -0,6562275478 und -4,892867538.
Herzliche Grüße,
Willy
Sie meinte auch, man solle nicht länger als 10 Minuten daran sitzen, es hat mich aber irgendwie interessiert ^^
noch eine Frage: wie hast du anhand der Form gewusst, dass keine ganzzahligen Nullstellen vorhanden sind?
Hast Du die Aufgabe überhaupt richtig abgeschrieben? Vielleicht solltet Ihr aber auch nur eventuelle ganzzahlige Nullstellen checken.
Das wären - wenn es sie denn gäbe - ±1 oder ±3, die ganzzahligen Teiler der 3.
Die beiden Einsen sind schnell eingesetzt und geprüft, bei den Dreien hast Du etwas höhere Zahlen, ist aber auch noch im Kopf zu schaffen.
Wenn Du bei solchen Polynomen höhere Werte für x überprüfen mußt oder Dir eine Polynomdivision ersparen willst, sieh Dir mal das Horner-Schema an. Damit geht es ganz fix.
Der Sinn der Aufgabe war es zu zeigen, dass man für solche Aufgaben lieber den Rechner nutzen soll, da es sonst zu kompliziert wird. Danke dir trotzdem
Als mein Bruder meint man braucht eine Polynom Division und kann hier nicht ausklammern.
du musst anscheinend null Stellen erraten und die befinden sich fast nur zwischen eins und drei.
Das musst du dann einsetzen und testen
danach den ganzen Term durch x minus das Negative von der Null Stelle teilen
dann kommt anscheinend irgendetwas raus womit man rechnen kann das sitzt du denn null und dann kannst du die PQ Formel anwenden
ich hab kein Plan davon
Das hat mit Sicherheit nicht geklappt. Alle vier Nullstellen sind Brüche mit vielen Nachkommastellen, wahrscheinlich sogar irrational. Da rätst Du nichts und eine Polynomdivision ist hier auch ausgesprochen haarig.
Hab meinen Bruder gefragt wie es bei Funktionen vierten Grades is wenn dann noch ne zahl ohne x dabei ist und dann hat er das oben geantwortet
Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt (das sind dann immer Teiler der Zahl ohne x), klappt diese Methode auch. Bei dieser speziellen Gleichung hier aber funktioniert das nicht. Keine der vier Nullstellen läßt sich erraten. Selbst wenn Du eine davon wüßtest, wäre die Polynomdivision etwa durch (x-2,105291119) eine Tortur.
Danach hättest Du immer noch eine kubische Funktion und das Spiel ginge von vorn los.
Das ist nur etwas für Leute, die wirklich nicht wissen, was sie mit ihrer Freizeit anstellen wollen.
Achso oh haha dann hätte ich meinem Bruder die ganze Funktion schicken sollen 😂
Wenn er vernünftig ist, jagt er sie durch seinen Rechner.
Dafür sind die schließlich da.
x Ausklammern dann mitternachtsformel.
hat nur eine Nullstellen da das eine x nicht 0 werden kann
x⁴ + 3x³ - 10x² - 3x + 3 = 0
x ausklammern
x(x³ + 3x² - 10x - 3) + 3 = 0
Wo kann man jetzt die Mitternachtsformel anwenden?
Ich bedanke mich für diese Antwort, habe mir fast schon gedacht, dass das eher eine Preisfrage von Seiten des Lehrers war