Neuer Definitionsbereich nach kürzen der hebbaren Lücken?
Hallo zusammen,
ich habe mich gerade gefragt, ob der Definitionsbereich neu aufgeschrieben werden muss, wenn ich hebbare Lücken in meiner Gebrochen rationalen Funktion habe?
Zum Beispiel in der Aufgabe:
Hier habe ich den Definitionsbereich: alle Reellenzahlen, außer: {0;-2}
In Linearfaktorschreibweise:
Da man hier jetzt (x-2) vollständig kürzen kann frage ich mich, ob sich der Definitionsbereich jetzt ändert und somit nur noch wie folgt lautet: alle Reellenzahlen, außer: {0}?
Vielen Dank schonmal!
4 Antworten
Das Ziel einer Gleichung ist es ja, Zahlen zu finden, die man in die ursprüngliche Gleichung einsetzen kann, sodass sie aufgeht.
Das heißt, der gültige Definitionsbereich ist der Definitionsbereich der Ausgangsgleichung.
Wenn du Terme umformulierst ändert sich der Definitionsbereich auch nicht solange du nur ausklammerst addierst oder multiplizierst.
Anders sieht es beim Dividieren durch Terme, die eine Variable enthalten, aus und beim Kürzen wird ja dividiert.
Das Weggkürzen von (x-2) geschieht ja unter der Annahme, dass (x-2) nicht 0 sein darf, denn sonst hättest du es ja mit einem Bruch zu tun unter dessen Bruchstrich eine 0 steht.
Du hast in diesem Fall also eine Gleichung in eine andere Gleichung überführt, die nur unter dem Umstand äquivalent zur ersten ist, dass (x-2) nicht 0 ist. Du musst dir also spätestens ab dieser Stelle merken (bzw. aufschreiben), dass die Zahl 2 kein Teil des Deffinitionsbereichs ist und als Lösung bzw. in diesem Fall Nullstelle nicht in Frage kommt.
Es ist zu beachten, dass der Definitionsbereich durch das Kürzen nicht verändert werden darf. Es wäre sonst eine neue Funktion.
Wenn Du die hebbare Singularität herauskürzt, ändert sich die Funktion: Du erhältst eine neue Funktion, die an allen Stellen mit der alten Funktion übereinstimmt, ausser bei x = 2 - Du hast die Definitionslücke stetig ergänzt…
Deswegen ist es ja eine „neue“ Funktion - wenn die Definitionsbereiche beider Funktionen übereinstimmen würden, wären die Funktionen identisch…
Der Definitionsbereich der gegebenen (!) Funktion ist der der unveränderten Ausgangsfunktion.
Die alte Fkt hat ihren Def und behält ihn auch . Nur die neue Fkt hat den anderen Def .
'Für den FS : Neuer Def nach Hebung ? Nein