Modellieren und Optimieren?
Habe ein Problem Beim Bestimmen meiner Zielfunktion. Und zwar lautet die Aufgabe:
Eine oben offene Kiste mit quadratischer Grundfläche soll so hergestellt werden, dass bei einem Volumen von 40l die Oberfläche möglichst klein wird. Wie sind die Maße zu wählen? Wie groß ist die minimale Oberfläche?
In den Lösungen ist diese Formel für die Oberfläche: O=x^2+4xy mit x,y>0 und die Formel für die Nebenbedingung: V=x^2y.
Daraus ergibt sich dann folgende Zielfunktion: O(x)=x^2+160/x.
Weiß jmd wie die auf die Formeln kommen?
Ich versteh nichtmal, wie die Formel für die Oberfläche zustande kommt.
2 Antworten
Hallo,
die quadratische Grundfläche ist x².
Dann ist das Volumen x²*h.
Dieses Volumen soll 40 l betragen, daher:
x²*h=40
h=40/x²
Die Oberfläche besteht aus der quadratischen Grundfläche x² und vier gleich großen Seitenflächen x*h.
Da h=40/x², haben diese vier Flächen die Oberfläche 4*x*40/x²=160/x nach Kürzen.
So kommst Du auf die Oberflächenformel f(x)=x²+160/x
Um das Maximum herauszufinden, bildest Du die Ableitung und setzt sie auf Null.
Ist x bekannt, kann danach auch h berechnet werden, weil h=40/x²
Herzliche Grüße,
Willy
Herleitung der Zielfunktion (Tippfehler in letzter Zeile - + statt *)
