Zielfunktion finden!?
Hallo, ich soll für Mathe folgende Aufgabe lösen: Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von 100 Quadratzentimetern ein möglichst großes Volumen besitzen. Wie müssen die Maße des Kartons gewählt werden? Zeigen Sie, dass es keine weiteren Maxima gibt. Soweit so gut. Ich habe bisher die Extremalbedingung und die Nebenbedingung: V=a^2h und O=100= a^2+4a*h. Jetzt habe ich aber Probleme, daraus die Zielfunktion zu machen. Kann mir jemand erklären wie das funktioniert? Ich weiß, dass es hier schon unendlich viele Fragen zu der Aufgabe gibt, aber die Antworten darauf verwirren mich ehrlich gesagt. Und ich möchte auch nicht, dass jemand anderes meine Hausaufgaben für mich erledigt, sondern mir das nur erklärt. Danke im Voraus!
2 Antworten
Also ich hätte es so gelöst, bin mir aber nicht 100% sicher:
Das Volumen eines Kartons ist ja bekanntlich Oberfläche mal Höhe. Da es sich um einen quadratischen Karton mit dem Oberflächeninhalt von 100 cm³ handelt, sind die beiden Grundseiten 10 cm und 10 cm lang. Jetzt musst du aber, um daraus einen Karton zu falten, in die Grundfläche hineinschneiden. Und zwar jeweils an den Ecken immer Rechtecke. Diese Rechtecke (hier Quadrate) haben jeweils eine Länge x. Also ergibt sich für den Oberflächeninhalt:
O(x) = (10-x)*(10-x)
Ich hoffe, du hast bis hierhin verstanden, was ich meine. 10 * 10 cm Grundfläche abzüglich der jeweils um x langen Quadrate um die "Wände" hochklappen zu können. Dann nimmst du die Oberfläche mal die Höhe, also x. Es folgt für die Zielfunktion:
V(x) = (10-x)*(10-x)*x
Deine erste Nebenbedingung ist die Zielfunktion, Du musst lediglich mithilfe der tatsächlichen Nebenbedingung die eine Variable eliminieren (a oder h).
Also h=V:a^2 ?