Extremalwertaufgabe (Karton)
Ich hänge wieder bei einer Aufgabe (anbei ein Bild) ich komme einfach nicht dahinter wie ich an solche Aufgaben herangehen soll, weil mir das nie richtig gezeigt wird, es wäre nett wenn mir jemand Tipps geben kann.
Die Aufgabe soll sein, dass die Oberfläche eines Kartons, der oben offen ist, mit einem Volumen von 10dm^3 und quadratischer Grundfläche minimal sein soll
Mfg Chaoslight
4 Antworten
Bei Extremwert-Aufgaben geht es immer darum, eine sinnvolle Funktion aufzustellen, deren Minimum oder Maximum man dann bestimmen soll.
Bei Deiner Aufgabe soll die Oberfläche minimal werden, also muss diese das "y" der Funktion sein.
Dein Karton hat quadratische Grundfläche, nennen wir die "Breite" a und die "Höhe" h.
Dann gilt O = 4(ah) + a². Die Oberfläche ist also eine Funktion der beiden Größen a und h. Da diese Funktion "optimiert" werden soll, bezeichnet man die meist als "Hauptbedingung".
Zwei Einflussgrößen sind aber schlecht, damit können wir nicht gut rechnen. Daher versuchen wir, eine dieser Größen durch die andere auszudrücken. Dazu braucht man dann sogenannte "Nebenbedingungen", die man aus den anderen Informationen der Aufgabenstellung herauslesen muss. Die einzige Info, die hier noch gegeben wird, ist das feste Volumen von 10 dm³. Das Volumen des Kartons ist aber immer V = a²h, es muss hier also gelten 10 = a²h, das können wir umstellen nach h und dann in unsere Hauptbedingung einsetzen:
10 = a²h => h = 10 / a²
O = 4(ah) + a² => O = 4(a * 10/a²) + a² = 4(10/a) + a² = a² + 40/a
O = f(a) = a² + 40/a nennt man nun die "Zielfunktion", zu der Du dann mit den bekannten Mitteln der Kurvendiskussion das Minimum suchen kannst, aus dem errechneten a kannst Du dann über die Nebenbedingung wieder das h bestimmen. (Achtung: evtl. liefert die Kurvendiskussion mehrere mögliche Lösungen. Davon ist aber meist nur eine im Sinne der Aufgabestellung sinnvoll, z. B. wären alle Lösungen, die ein negatives a oder h ergeben würden, in dieser Aufgabe Quatsch.)
Allgemein kann man bei Extremwertaufgaben so vorgehen:
1.) Welche Größe soll "optimiert" werden? - Suche eine sinnvolle "Formel", um diese Größe auszudrücken. Das ist dann die "Hauptbedingung"
2.) Enthält die Formel in der Hauptbedingung mehrere verschiedene Größen? - Dann suche nach weiteren Informationen in der Aufgabenstellung, und versuche, diese auch in "Formeln" auszudrücken. Das sind dann die "Nebenbedingungen". Davon kann es je nach Komplexität der Aufgabe eine (wie im Beispiel) oder auch mehrere geben - Du brauchst im Normalfall genau eine Nebenbedingung weniger, als es verschiedene Variablen in der Hauptbedingung gibt. (Mehr als zwei braucht man in den Schul-Aufgaben aber selten, meist nur eine. Es kann auch mal gar keine nötig sein, aber auch das ist eher selten.)
3.) Stelle die Nebenbedingungen so um, dass Du sie in die die Hauptbedingung einsetzen kannst und so nach und nach alle Variablen bis auf eine ersetzt hast. (Es kann auch mal sein, dass durch Einsetzen einer Nebenbedingung neue Variablen erscheinen, dann braucht man zusätzliche Nebenbedingungen, um die wieder verschwinden zu lassen - das tritt aber in den Aufgaben in der Schule eigentlich nie auf.)
4.) Suche die Extrema der Hauptbedingung (die ja jetzt nur noch Funktion einer Variablen ist) und überprüfe, ob sie zur Aufgabenstellung passen (d. h. z. B. ob es überhaupt ein Minimum ist, wenn die minimale Fläche gesucht wird, und ob die Werte im Rahmen der durch die Aufgabe gegebenen Grenzen liegen oder "technisch sinnvoll" sind).
Du hast zwar kein Bild, aber geh mal von einem Vektor im R³ aus, wobei du ja an sich nur 2 Variablen hast, aufgrund der Tatsache, daß die Grundfläche quadratisch ist. Und was macht also nenn das z.B. (a, a, b). Und du weißt, daß das volumen a² mal b = 10dm³ ist. Und du weißt ja auch, wie die Oberfläche ist. a² + 4 mal a mal b + 2 Na da hast du doch eine schöne Vektorgleichung. Und um einen Extremwert zu ermitteln, mußt du von dem erst einmal die 1. Ableitung bilden. Denn an der Stelle, wo diese 0 ist, liegt ein Extremwert vor. Und dann gibt es mehrere Möglichkeiten, weiß nicht, ob du lieber mit Determinanten oder so etwas rechnest oder lieber die 2. Ableitung bildest oder erst mal guckst, ob in dem fall noch einfachere Möglichkeiten sind. Die 2. Ableitung müßte jeden Falls größer als 0 sein, damit du ein Minimum raushast.
- a Seite der Grundfläche
- h Höhe des Kartons
- V = 10 dm³ Volumen des Kartons
Hauptbedingung: O = a² + 4 a h
Nebenbedingung: V = a² * h
Zielfunktion: O(a) = a² + 4 V / a
O'(a) = 2a - 4V / a² = (2a³ - 4V) / a²
O''(a) = 2 + 8 V / a³ > 0 für alle a > 0; (1)
O'(a) = 0 ⇒ 2a³ - 4V = 0;
a = ³√(2V) = ³√(20) ≈ 2,71 (dm); wegen (1) ist dies das gesuchte Minimum.
lass mal die Einheiten in der Rechnung weg; die verwirren nur.
Nebenbedingung ist das, wo du ne Zahl gegeben hast;
also NB V=x² * h = 10
Zielfunktion O=x² + 3 * x * h ; also Grundfläche + 3 Seitenflächen des Kartons.
dann löst du die NB nach h auf ; also h=10/x²
das setzt du in die Zielf. ein; also O=x² + 3x * 10/x² dann vereinfachen, ableiten usw
;
ups, ja stimmt! Dann bekommen eben andere auch Milch ab. :)
O=x² + 4x * 10/x² muss es heißen.
Aus Deinem Karton läuft die Milch an einer Seite raus ... ;-)