Mittlere Lebensdauer?
Ich hab da eine Aufgabe bekommen, und bekomme die ganze Zeit eine falsche Lösung bei raus. Irgendwas mach ich falsch. Kann mir da zufällig jemand bei helfen:
"Eine Herstellerfirma hat festgestellt, dass 15 Jahre nach der Herstellung ca. 26 % der Geräte in einer bestimmten Produktklasse noch ohne vorherige Reparatur funktionstüchtig sind.
Wie groß ist die mittlere Lebensdauer T dieser Geräte in etwa? (T [in Jahren]) "
5 Antworten
Hallo,
hier dürfte es sich um eine exponentialverteilte Zufallsvariable handeln.
Nach 15 Jahren haben 26 % der Geräte überlebt.
Die Dichtefunktion dazu lautet: f(t)=λ*e^(-λt).
Die dazugehörige Verteilungsfunktion F(t)=1-e^(-λt) ist die Funktion der Ausfallwahrscheinlichkeit, somit ist die Funktion der Überlebenswahrscheinlichkeit
R(t)=e^(-λt)
t ist die Anzahl der Zeiteinheiten, hier: Jahre, R(t) ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Gerät nach t Zeiteinheiten noch funktioniert.
Da t und R(t) bekannt sind, kann λ berechnet werden:
e^(-15λ)=0,26
-15λ=ln (0,26)
λ=-ln (0,26)/15=0,08980490986
Die mittlere Überlebensdauer ist der Kehrwert von λ.
1/λ=11,135 Jahre
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe als Beispiel für eine Exponentialverteilung genau diese Problemstellung: Lebensdauer technischer Geräte, im Papula gefunden.
Wenn man davon ausgeht, daß die Geräte mit gleichen Qualitätsstandards hergestellt wurden, dürfte ihr Ausfall von mehreren zufälligen Gegebenheiten abhängen wie Art der Nutzung, Fehler bei der Herstellung, unsachgemäße oder besonders schonende Bedienung usw., die gemeinsam für eine derartige Verteilung sorgen.
Viele Vorgänge in der Natur sind ja auch normalverteilt, obwohl der Natur die Gaußsche Funktion auch egal sein sollte.
Die ganze Statistik und Stochastik beruhen ja darauf, daß sich scheinbar zufällige und eigentlich unvorhersehbare Gegebenheiten durch Verteilungsfunktionen annähern lassen.
Dennoch liefert die Aufgabe zu wenig Angaben, um Annahmen wie die, daß es sich um eine Exponentialverteilung handelt, wasserdicht zu machen.
Ich wüßte aber nicht, wie man sonst herangehen soll, wenn weder Art der Verteilung noch Standardabweichung bekannt sind.
Deine Herangehensweise ist in der Tat die einzige, die zu einem zahlenmäßigen Ergebnis führen kann, wenn man sonst keine weiteren Informationen hat.
Vielleicht haben die Lehrbuchhersteller einfach Schwierigkeiten, ordentliche Beispiele für Übungsaufgaben über Exponentialfunktionen zu finden.
Ich würde folgendes als Rechengrundlage nehmen:
nach 0 Jahren = 0% kaputt
nach 15 Jahren = 84% kaputt
nach x Jahren = 100% kaputt
Aber erstens kann ich nicht garantieren, dass das frei von Denkfehlern ist und ich habe jetzt auch keine Zeit, das x zu berechnen.
Das hatte ich auch versucht.
Daraus kamen die 57,692307...
Dann hab ich auch schon daraus die hälfte genommen. Weil mittlere Lebensdauer und so.
Dann kam 28,8461... bei raus. Aber das war wohl auch falsch :-(
Die Formel für die mittlere Lebensdauer ist zumindest:
(Summe der Lebensdauern von n Geräten) geteilt durch (Anzahl n der Geräte).
Für eine Modellrechnung setze man n = 100.
Das einzige, was man weiß, ist dass die Summe Lebensdauer von 26 Geräten die Zahl von 26 * 15 = 390 übersteigt, und das die Summe der Lebensdauer von 74 Geräten die Zahl 74 * 15 = 1110 unterschreitet.
Rein theoretisch könnte es aber sein, dass bis zu einem Alter von 13-14 Jahren noch 99 % der Geräte funktionieren, dann aber aufgrund des Verschleißes eines bestimmten Bauteils plötzlich im 15. Jahr 73 % der Geräte einen Defekt bekommen. Dann läge die mittlere Lebensdauer noch über 15 Jahren, wenn die restlichen 26 % der Geräte noch mehrere Jahre durchhalten.
Es könnte aber auch sein, dass bereits nach 1 - 2 Jahren ein nicht unerheblicher Anteil der Geräte in die Knie geht.
Mit einem ganz groben Modell könnte man rechnen:
25 % der Geräte werden 5 Jahre alt, entspricht Lebensdauersumme 125.
25 % der Geräte werden 10 Jahre alt, entspricht Lebensdauersumme 250.
25 % der Geräte werden 15 Jahre alt, entspricht Lebensdauersumme 375.
25 % der Geräte werden 20 Jahre alt, enspricht Lebensdauersumme 500.
Die Gesamtlebensdauersumme wäre dann 1250 Jahre, und der Durchschnitt 12,5 Jahre.
Das ist aber alles reine Spekulation, da man die mathematischen funktionalen Zusammenhänge nicht kennt.
Diese Frage lässt sich gar nicht genau beantworten, da man nicht weiß, nach welcher mathematischen Funktion die Störungen bei diesen Geräten auftauchen.
Es könnte sein, dass die Wahrscheinlichkeit eines Defekts über die ganze Zeit hinweg gleich groß ist, oder aber auch, dass gleich nach ziemlich kurzer Zeit ein größerer Teil der Geräte ausfällt, danach aber diejenigen Geräte, die bis dahin durchgehalten haben auch noch sehr lange weiter halten.
Man kann nur sagen, dass die mittlere Lebensdauer wohl deutlich kürzer als 15 Jahre sein muss, da ja nach dieser Zeit auch viel weniger als 50 % (nämlich nur noch 26 %) funktionieren.
Ca. 30 Jahre
Vielen Dank erstmal,
leider sagt das System wo ich es eingeben muss leider das 30 auch falsch wäre.
Hallo Willy,
da liege ich ja mit meinem ganz groben Rechenmodell (s.o.) ohne Exponentialfunktion gar nicht so weit weg von deinem Ergebnis.
Die Frage ist nur, ob es sich bei der gegebenen sachlichen Fragestellung um eine exponentialverteilte Zufallsvariable handelt.
Ich denke einfach, dass sich diese Geräte, ob es nun Autos, Waschmaschinen oder Toaster sind, sich ziemlich wenig um e-Funktionen scheren. Die Wahrscheinlichkeit eines Schadensereignisses ist nicht unabhängig von der bisherigen Lebensdauer und der Nutzungsart des einzelnen Gerätes immer konstant. Es handelt sich ja schließlich nicht um ein rein physikalisches Phänomen, wie z.B. den radioaktiven Zerfall. Dieser könnte ganz prima mit einer e-Funktion beschrieben werden.
Aber Defekte, die mit der Materialbeanspruchung zu tun haben, verhalten sich mathematisch ganz anders. Ich bezweifle, ob man dafür überhaupt eine einfache Formel finden kann.