Mittelwerte von Funktionen, Herleitung der Formel

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Stell Dir das Schaubild einer Funktion f(x) vor im Bereich a ≤ x ≤ b. Es hat i.A. überall verschiedene Höhe/y-Werte. Du wirst sicher nach einigem Nachdenken erkennen, dass ein sinnvoller Mittelwert dieser y-Werte die Höhe H eines Rechtecks zwischen x = a und x = b ist, das den gleichen Inhalt hat, wie die Fläche unter dem Schaubild von f(x), also (b – a)H = ʃ f(x)dx von a bis b. Aufgelöst nach H ergibt sich …..

Eine Idee dahinter wäre Folgendes:

Man betrachtet eine stetige (oder allgemeiner: eine sog. „messbare“) Funktion ƒ : X —> R, wobei (X; µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist und fragt sich, (1.) welchen Informationsinhalt diese Funktion hat, und (2.) wie diese vereinfacht werden kann.

Dazu betrachtet man sogenannte sigma-Algebren auf dem Bildbereich X. Für stetige Funktionen besteht die Sigma Algebra aus:

  • alle offenen Mengen
  • Komplemente, abzählbare Schnitte und abzählbare Vereinigungen aus solchen Mengen
  • Komplemente, abzählbare Schnitte und abzählbare Vereinigungen aus diesen Mengen
  • usw.

Diese sigma-Algebra heißt Bor(X), die Borel-Mengen. Um Information über die Funktion zu wissen, reicht es aus folgende Messungen zu nehmen ∫über x € A aus ƒ(x) µ(dx) für jedes A in Bor(X). Anhand dieser Zahlen kann man ƒ immer erneut aufbauen.

Nochmals: die betrachtende Funktion am Anfang war „messbare“, was heißt dass ƒ^{-1}(U) in Bor(X) liegt für alle U in Bor(R). Man erfasst die Funktion durch:

  • (∫über x € A aus ƒ(x) µ(dx) : A in Bor(X))

und aus diesen Zahlen kann man die Bor(X)-messbare Funktion ƒ eindeutig rekonstruieren.

Eine Fassung der Funktion besteht nun darin, dass man eine kleiner Unteralgebra F von Bor(X) betrachtet, und nach einer Funktion g sucht, so dass

  • g F-messbar ist, was heißt, g^{-1}(U) liegt in F für alle U in Bor(R);
  • ∫über x € A aus g(x) µ(dx) = ∫über x € A aus ƒ(x) µ(dx) für alle A in F.

Dies existiert immer und ist eindeutig, weswegen man diese Funktion E(ƒ|F) bezeichnet und sie als eine Darstellung oder Fassung der Funktion verstehen kann.

Und für die besondere einfachste Unteralgebra F = {Ø; X} gilt E(ƒ|F) = „Mittelwert“. Deswegen kann man den Mittelwert als einfachste Fassung der Funktion verstehen kann.

Noch einfacher:

Sei h = ∫[a;b] ƒ(x) dx / (b–a). Dann ist h DER Wert, für welchen es gilt:

  • ∫[a;b] h dx = ∫[a;b] ƒ(x) dx

Das heißt, h approximiert in dieser einen Hinsicht die Funktion, und kann ƒ, wenn man Integrale berechnet, ersetzen.

Das wäre die maßtheoretische / stochastische Interpretation.


Nun, eine geometrische Interpretation:

∫-„Mittelwert“ ist der bzgl. des Flächeninhalts Mittelwert der Balkenhöhen der Fläche.

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@kreisfoermig

kurze Frage noch: wie bekomme ich das Integral im Computer hin? ich habs mir immer ganz kompliziert rauskopiert und irgendwie angepasst.....

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@Hanna96

Am Besten schreibt man seinen Text erstmal in WORD mit all seinen Sonderzeichen etc. und kopiert ihn dann in gutefrage.. Nur leider wird dabei nicht alles erkannt, zB Hochzahlen außer 0, 2, 3, und Indizes und manche griechische Buchstaben.

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@Hanna96
MAC OSX: ⎇ b
Das heißt, alt b

Bei Windows oder Ubuntu, usw. habe ich leider keine Ahnung.

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Danke vielmals! :-)

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Natürlich ist es geometrisch am einfachsten erklärt: Das best. Integral ist eine Fläche F. Diese Fläche F ist gleich einer Rechtecksfläche R= (b-a)h, wobei h die Höhe des Rechtecks ist, d.i. also gleich dem m in deiner Formel!

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