Integral x*e^x dx. Ist es überhaupt möglich diese Funktion zu integrieren, da mir mein Taschenrechner und auch die Rechner im Netzt kein Ergebnis angeben?

5 Antworten

Bei solchen Aufgaben geht man über die partielle Integration. Beide Faktoren werden als eigene Funktion angesehen, wobei man eine als Ableitung, die andere als "normale" Funktion wählt, d. h. Du hast hier die Form f'(x) * g(x). Eine Funktion musst Du also integrieren, die andere ableiten, bevor Du die Formel für die part. Integration anwendest. Da x abgeleitet 1 ergibt, wäre g(x)=x eigentlich immer eine gute Wahl...

Basierend auf der Produktregel beim Ableiten findet man eine Methode, die man Partielle Integration nennt.

Produktregel: Für eine Funktion f und zwei Funktionen u und v mit f(x) = u(x) * v(x) gilt: f '(x) = ( u * v ) '(x) = u '(x) * v(x) + u(x) * v '(x).

Integriert man auf beiden Seiten der Gleichung, dann erhält man

u(x) * v(x) = int u '(x) * v(x) dx + int u(x) * v '(x)

Wir bringen einen Summanden der rechten Seite auf die linke Seite.

int u(x) * v '(x) = u(x) * v(x) - int u '(x) * v(x) dx

Seien nun u(x) = x und v '(x) = e^x. Dann ergibt sich wegen u '(x) = 1 und v(x) = e^x:

int x * e^x dx = x * e^x - int 1 * e^x dx = x * e^x - e^x

Dann ist die Stammfunktion von g(x) = x * e^x gegeben durch

G(x) = x * e^x - e^x = e^x ( x - 1 ).

Das bestimmte Integral über die ganze reelle Achse ist unendlich, aber ein unbestimmtes Integral oder ein bestimmtes Integral über ein endliches Intervall lässt sich zum Beispiel mittels partieller Integration berechnen.

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