Mathematik Differentialrechnung differenzenquentient?
Kann mir jemand hier bitte weiterhelfen? Checke das irgendwie nicht😩😭
1 Antwort
Der Differenzenquotient von f im Intervall [–4; 1] ist Daher ist die 1. Aussage falsch.
Der Differenzenquotient von f im Intervall [–4; a] ist Wegen a>0 ist auch a+4>0, aber der Differenzenquotient f(a)/(a+4) kann auch negativ sein, denn z.B. für a=3 ist f(3)/(3+4) = –2/7 < 0.
Daher ist die 2. Aussage falsch.
Der Differentialquotient von f an der Stelle –4 istund das ist der Grenzwert der Steigungen der Sekanten durch die Punkte
(x|f(x)) und (–4|f(–4))=(–4|0), wenn x gegen –4 wandert. Dieser Grenzwert ist aber genau die Steigung der Tangente an f im Nullpunkt (–4|0).
Daher ist die 3. Aussage wahr.
Der Differenzenquotient von f im Intervall [–4; 1] ist 0, siehe oben bei Aussage 1. Der Differentialquotient von f an der Stelle 2 ist gleich die Steigung der Tangente an f im Punkt (2|f(2)), siehe Aussage 3. Die Tangente in Punkt
(2|f(2)) ist aber waagerecht, ihre Steigung also 0, weil f dort ein lokales Maximum hat.
Daher ist die 4. Aussage wahr.
Sei f'(0) der Differentialquotient von f an der Stelle 0 und f'(–4) der Differenzialquotient von f an der Stelle –4. Dann ist wg. Aussage 3 also f'(0) die Steigung der Tangente in (0|f(0)) und f'(–4) die Steigung der Tangente in
(–4|f(–4)).
Sei ferner g die Sekante durch (0|–3) und (1|0) sowie h die Sekante durch
(–5|–4) und (–4|0). Dann ist offenbar die Steigung g' von g gleich 3 und die Steigung h' von h gleich 4. Andererseits sieht man am Graph von f, dass f'(0)<g' und h'<f'(–4) ist. Also haben wir
f'(0) < g' = 3 < 4 = h' < f'(–4).
Die 5. Aussage behauptet aber, dass f'(–4) < f'(0).
Daher ist die 5. Aussage falsch.