[Matheformel] 30 Tage jedem Tag einen Gegenstand mehr weggeben?
Es gibt da ein Minimalisten Game, wo man jeden Tag einen Gegenstand mehr weg gibt, als am Vortag und mich interessiert, wie die mathematische Formel dazu wäre.
Wie ist die mathematische Formel um das Prinzip darzustellen?
3 Antworten
Wenn du wissen möchtest, wie viele Gegenstände das insgesamt sind, kannst du das mit der Gaußschen Summenformel berechnen:
N = n · (n + 1) / 2
Mit n = 30 ergibt das 465 Gegenstände.
Dazu überlegst du dir, wie die Gaußsche Summenformel zustande kommt:
Ausgangspunkt:
Summe = 1 + 2 + 3 + … + 28 + 29 + 30
Das sortieren wir um:
Summe = (1 + 30) + (2 + 29) + (3 + 28) + … + (15 + 16)
Jede der eingeklammerten Teilsummen ergibt 31, und da wir immer 2 Summanden zusammengefasst haben, sind es halb so viele Teilsummen wie Summanden.
Die Gesamtsumme ist in diesem Beispiel also 31·15, wobei sich die 15 offenbar aus 30/2 ergeben hat.
Allgemein ist die Summe also (n+1)·(n/2).
(Das ist etwas anders, als ich es zuvor aufgeschrieben hatte; die beiden Formen sind aber äquivalent.)
Das hat der kleine Gauß schon in der Schule gewußt:
Er hat die 1. und die letzte Zahl (1 + 30) gerechnet, 2 + 29, 3 + 28 und so weiter. Das Ergebnis dieser Addition ist in diesem Beispiel immer 31. Diese 31 hat er mit 15 (weil 15 Zahlenpaare addiert wurden) multipliziert und erhielt 465.
Und wie kommt es zu dieser Formel? Mein Gauß ist schon zu lange her (:'
Laut Wikipedia zu Gauß:
„Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“
– Wolfgang Sartorius von Waltershausen[1]
Die genaue Aufgabenstellung ist nicht überliefert. Oft wird berichtet, dass Büttner die Schüler die Zahlen von 1 bis 100 (nach anderen Quellen von 1 bis 60) addieren ließ. Während nun seine Mitschüler fleißig zu addieren begannen, stellte Gauß fest, dass sich die 100 zu addierenden Zahlen zu 50 Paaren gruppieren lassen, die jeweils die Summe 101 haben: 1 + 100 , 2 + 99 , 3 + 98 bis zu 50 + 51. Also musste das gesuchte Ergebnis gleich dem Produkt 50 ⋅ 101 sein.
Sartorius berichtet weiter:
„Am Ende der Stunde wurden darauf die Rechentafeln umgekehrt; die von Gauss mit einer einzigen Zahl lag oben und als Büttner das Exempel prüfte, wurde das seinige zum Staunen aller Anwesenden als richtig befunden …“
– Wolfgang Sartorius von Waltershausen[2]
Wenn Du wissen willst wie viel Du nach "n" Tagen weg gegeben hast, dann lautet die Formel:
Das Summenzeichen auf der linken Seite kennst Du? Falls nicht: Es besagt, dass man die Summe von Zahlen bilden soll. Diese Zahlen werden mit Hilfe eines Laufindex beschrieben (hier mit: "k"). Unten steht mit welchem "k" man beginnt (hier: k=1) und oben steht, mit welchem "k" man aufhört (hier: k=n). Insgesamt bedeutet das hier (1+2+3+4+5+....+n)
Die Formel bedeutet einfach wenn man die Zahlen von 1 bis zu einer beliebigen Zahl "n" aufsummieren will, kann man die Summe ganz einfach mit Hilfe der letzten Zahl berechnen (rechte Seite der Gleichung). Um Deine Frage konkret zu benantworten wäre n=30 und die Summe aller Zahlen von 1 bis 30 wäre 30*31/2 = 15*31 = 465
Genau, griech. Summenformel. Kenn ich von det Roman-Reihe Sigma Force von James Rollins.
Danke
Wieso eigentlich durch zwei?