Mathe vollständige Induktion hilfe?
Ich bin mir nicht sicher wie ich etwas durch die Beweismethode vollständige Induktion beweisen kann. Kann mir da jemand helfen inwiefern ich die Aufgabe weiterführen soll?
2 Antworten
Prinzipiell möchtest du bei der vollständigen Induktion ja immer beweisen, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen ab einem bestimmten Startwert gilt (hier 1).
dazu beweist du das als erstes für deinen Startwert (hier 1), was du in der ersten Zeile ja schon gemacht hast.
Der nächste Schritt ist nun, zu beweisen, dass wenn die Aussage für irgendeinen beliebigen bestimmten Wert k gilt, sie auch für k + 1 gilt (ich benutze hier k, damit man mit dem Allgemeingültigkeit n aus der ursprünglichen Aufgabe nicht durcheinander kommt).
In diesem Beispiel hast du die Ungleichung 2^k > k (gilt ja zum Beispiel für 1, hast du ja im ersten Schritt bewiesen). Jetzt multiplizierst du beide Seiten der Ungleichung mit 2:
2^k * 2 > k * 2 <=> 2^(k+1) > k + k >= k + 1
Der letzte Schritt ist offensichtlich, da k >= 1 ist (für 1 hast du es schon bewiesen, ansonsten soll die Aussage ja für größere Werte gelten).
Also gilt:
2^(k+1) > k + 1
q.e.d.
Beh.: n < 2^n für alle n aus |N
Induktionsanfang: 1 < 2^1 = 2 => die Beh. ist wahr für n=1
Annahme: Die Beh ist richtig für ein n. => n < 2^n
daraus folgt n +1 < 2^n + 1 < 2^n + 2 < 2 * 2^n = 2^(n+1)
daraus folgt: Wenn die Beh. für n richtig ist, dann ist sie auch für n+1 richtig.
daraus folgt die Beh. ist für alle n richtig.