Mathe Aufgabe Nr.11?
Ich muss die Aufgabe 11 machen, weiß jedoch nicht wie ich die Höhe des Brückenbogens ausrechnen muss und was man für ein Koordinatensystem benutzen soll.
Habe bis jetzt nur die Funktion f(x)=ax^2+bx+c bestimmt.
3 Antworten
Ein anderer zu den vorgeschlagenen Ansätzen:
Ich lege meine x-Achse auf die Linie AB und die y-Achse durch den Scheitelpunkt.
Dann gilt A(-25/0) und B(25/0)
Dann setze ich A und B in die Funktionsgleichung f(x)=ax^2+bx+c ein:
f(-25) = 625a -25b + c = 0
f(25) = 625a + 25b + c = 0
Und nun subtrahiere ich Gl. 2 von Gl. 1:
625a -25b + c - (625a + 25b + c) = 0 - 0
-50b = 0
b = 0
Was wir auch noch wissen:
f'(A) = 1
f'(B) = -1
Also leiten wir f(x) = ax^2 + c ab: (b war ja = 0, also können wir das gleich wegfallen lassen, was die weitere Rechnung vereinfacht)
f'(x) = 2ax
f'(-25) = 2a*(-25) = -50a = 1
a = -1/50
Die Funktion lautet also
f(x) = -1/50 x + c
Müssen wir also noch c ausrechnen. Oben hatten wir schon festgestellt:
f(25) = 625a + 25b + c = 0
und da setzen wir a ein:
625(-1/50) + 0 + c = 0
c = 625/50 = 12,5
Also lautet die Funktion:
f(x) = -1/50 x^2 + 12,5
Die sieht so aus:
Die Höhe ist nun leicht zu errechnen:
f(0) = c = 12,5
Ergebnis: Die Brücke ist 12,5m hoch.
Wähle das Koordinatensystem so, dass bei A der Nullpunkt ist. B ist dann bei 50. Setze die Funktion an als
f(x) = ax^2 + bx
(wegen f(x) = 0 weißt du bereits dass c = 0 sein muß).
Die beiden zusätzlichen Angaben bedeuten f'(0) = 1 und f'(50) = -1 (denn eine Gerade mit der Steigung 1 schneidet die x-Achse im Winkel 45°, eine mit Steigung -1 im Winkel 135°, wie eingezeichnet). Damit solltest du genug Angaben haben um die Funktion f zu berechnen. Die Höhe des Brückenbogens ist dann gerade f(25).
Damit du weißt wo genau der Nullpunkt und die zweite Nullstelle liegen. nebenbei benötigst du doch noch eine weitere Angabe, nämlich natürlich f(50) = 0.
Genau. Der Punkt A liegt im Nullpunkt und der Punkt B, 50m von A entfernt auch. Deshalb f(50) = 0.
Die beiden zusätzlichen Angaben bedeuten f'(0) = 1 und f'(50) = -1 (denn eine Gerade mit der Steigung 1 schneidet die x-Achse im Winkel 45°, eine mit Steigung -1 im Winkel 135°, wie eingezeichnet)
Man hat dann doch 5 Bedingungen, aber um ein Gleichungssystem aufzustellen braucht man doch 4??!
Du brauchst 3 Bedingungen für eine Funktion 2. Grades. Du hast f(0) = 0, f(50) = 0, f'(0) = 1 und f'(50) = -1, also vier Bedingungen. Die letzten zwei Bedingungen sind aber aus Symmetriegründen äquivalent, d.h. wenn die eine gilt gilt auch die andere.
Rechnen mußt du das indem du die von mir vorgeschlagene Form der Funktion formal ableitest und dann x = 0 und y = 1 in die abgeleitete Funktion einsetzt. GEmeinsam mit der Bedingungsgleichung f(50) = 0 hast du dann zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten a und b. Mit f(0) = 0 hast du bereits c=0 festgelegt.
Behalte ich das bx denn in der Ableitung?Da kommt doch b und nicht c raus.?!!
1 setzt du gar nicht in die Ableitung ein, wie kommst du darauf. Du setzt nur 0 ein, die 50 benötigst du gar nicht (da das dann sowieso gewährleistet ist). Mit y meine ich f'(1), sorry.
Also konkret: Wenn du die Bedingung f(50) = 0 verwendest, erhälst du
0 = f(50) = a*50^2 + b*50
Nun kannst du ein 50 ausklammern
0 = 50(a*50 + b)
und durch 50 teilen
0 = a*50 + b
Das ist deine eine Bedingungsgleichung.
Was ist denn nun die Ableitung der Funktion f(x) = a*x^2 + b*x?
c haben wir doch schon diskutiert, c = 0 steht doch schon fest.
Und was soll ich dann mit der Bedingungsgleichung machen?
Da setzt du das über die Ableitung erhaltene b ein und berechnest a. Damit erhälst du f(x). Dann setzt du x = 25 (also den Wert, an dem die Parabel ihren höchsten PUnkt hat) ein und erhälst die Höhe der Brücke.
leg doch die y-Achse durch den Scheitelpunkt;
dann hast du
A(-25 ; 0) und B(25 ; 0)
y = ax² + c
f ' = 2ax
f '(-25) = 1 weil tan(45)=1
also
-50a=1
a = -1/50
mit A oder B noch c berechnen.
Wofür brauche ich dann das Koordinatensystem, wenn ich das berechne?