Mathe: Allgemeine Formel zu Scheitelpunktform ohne quadrat. Ergänzung?
Hallo liebe Com,
gibt es einen Weg um von der allgemeinen Formel zur Scheitelpunktform zu kommen, der ohne die quadrat. Ergänzung funktioniert?
MfG Khoardi
5 Antworten
Sofern du die quadratische Ergänzung nicht rechnen sollst, gibt es selbstverständlich eine fertige Formel dafür :)
Ausgehend von f(x) = ax² + bx + c ist dann der Scheitelpunkt bei
S( -b / (2a) | c - b² / (4a) )
Herleitung:
Es ist f(x) = ax² + bx + c =
a( x² + (b/a) x ) + c =
a( x² + 2 * x * b/(2a) + [ b/[2a] ]² - [ b/(2a) ]² ) + c =
a( x² + 2 * x * b/(2a) + [ b/[2a] ]² ) - a * [ b/(2a) ]² ) + c =
a( x + b/(2a) )² - a * b²/(4a²) + c =
a( x + b/(2a) )² - b²/(4a) + c ... Das ist die Scheitelform.
Wenn du weißt, wie die Steigung an einem Scheitelpunkt aussieht und wie diese davor und danach verläuft, kannst du dir die Rechnung herleiten.
Ohne quadratische Ergänzung kannst du entweder ableiten (falls du es kannst), oder
du bestimmst mit Hilfe der p,q-Formel die Nullstellen
und berechnest aus den beiden den Mittelwert.
(x₁ + x₂) / 2 unter Berücksichtigung aller Vorzeichen.
Das ist dann der x-Wert des Scheitelpunkts. Du setzt ihn in die allgemeine Gleichung ein und erhältst den y-Wert.
Danach musst du die Koordinaten noch an die richtigen Stellen der Scheitelpunktform bugsieren! Achte bei x auf das umgekehrte Vorzeichen!
a * x ^ 2 + b * x + c = u * (x - v) ^ 2 + w
u = a
v = - b / (2 * a)
w = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)
S(xs ; ys) y=ax²+bx+c
xs = - b / 2a
dann den ausgerechneten xs-Wert in die Normalform einsetzen, um
ys zu berechnen.