Logarithmus Mathematik?
lg(x²)= 6
Wieso kann ich log10 auf die andere Seite bringen, sodass es 10⁶ ist?Verstehe nicht wirklich den Rechenweg dahinter
4 Antworten
Beide Seiten mit 10^( ) verrechnen, wobei du das, was vorher als Wert dastand, in den Exponenten setzt
Dann steht da:
10^(lg(x²)) = 10^6
Das lässt sich umformen zu:
x² = 10^6
weil sich 10^( ) und lg( ) eliminieren bzw. Umkehrfunktionen voneinander sind
Wieso kann ich log10 auf die andere Seite bringen, sodass es 10⁶ ist?
Weil log10 die Umkehrfunktion zu 10^x ist - genauso wie √ die Umkehrfunktion zu x² und man daher ein x von der Wurzel "befreien" kann, indem man die Gleichung quadriert. So gilt hier:
Deswegen (und wegen der Monotonie der Potenzfunktion) kann man eine "auf beiden Seiten"-Äquivalenzumformung machen, in dem man beide Seiten der Gleichung in eine Potenz von 10 erhebt und dann anwendet, dass log10 die Umkehrfunktion ist
Und links findet dann der obige Zusammenhang Anwendung. Daher
Eine Sache, die sich bei mir ins Hirn eingebrannt hat, ist der Spruch "der Logarithmus ist die Frage nach dem Exponenten".
Anders gesagt: Mit welcher Zahl muss ich die gewählte Basis potenzieren, um das Argument des Logarithmus zu erhalten?
Im vorliegenden Fall, bei dem du mit dem 10er-Logarithmus arbeitest, heißt das also: Mit welcher Zahl muss ich 10 potenzieren, um x² zu erhalten?
Das ist der Logarithmus.
Wir wissen, dass diese Zahl 6 ist.
Also müssen wir 10 mit 6 potenzieren, um x² erhalten, d.h. 10⁶=x².
Formal erhälst du dasselbe Ergebnis, in dem du den Logarithmus damit aufhebst, dass du beide Seiten als Exponenten der gewählten Basis (hier: 10) einsetzt, wie es schon SalatAufemBrot gesagt hat.
10^lg(...) hebt sich gegenseitig weg und du kommst an den Ausdruck, der vorher im Logarithmus stand dran.
Weil 10^x und lg(x) Umkehrfunktionen sind:
lg(x²)=10^6
10^(lg(x^2))=10^6
x^2=1000000
x=±sqrt(100000)
x=±1000