Lineare Hülle = Linearer Raum?
Meine Mathelehrerin hat gesagt, eine lineare Hülle ist immer auch ein linearer Raum.
Meine Frage ist nun, ist ein linearer Raum auch immer eine lineare Hülle? Und falls ja, was ist der Unterschied?
1 Antwort
Per Definition ist die lineare Hülle einer Menge M von Vektoren der kleinstmögliche lineare Raum, der alle Vektoren aus M enthält. Daher ist jede lineare Hülle automatisch auch ein linearer Raum. An der Definition sieht man auch, dass der Begriff der linearen Hülle überhaupt keinen Sinn ergibt, wenn nicht vorher bereits erklärt wurde, was ein linearer Raum ist.
Und ja, jeder lineare Raum lässt sich auch als die linearer Hülle von irgendeiner Menge von Vektoren darstellen. Beispielsweise ist jeder lineare Raum automatisch die lineare Hülle von sich selbst.
Das ist richtig. Aber die Begriffe sind dennoch keine Synonyme. Die lineare Hülle ist eher ein "Rechenoperator". Stell dir das vor wie bei den reellen Zahlen: Jede Summe (zweier rellen Zahlen) ist eine reelle Zahl und jede reelle Zahl lässt sich als Summe darstellen. Aber dennoch würdest du nicht behaupten, dass die Begriffe "Summe" und "Zahl" dieselben sind.
Ok danke dir, also jede lineare Hülle ist ein linearer Raum und jeder lineare Raum ist auch eine lineare Hülle?