Kurvenuntersuchungen mit Parameter?
Ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter:
Wie muss der Parameter a gewählt werden, wenn die Funktion f auf dem Intervall I = [1;2] streng monoton steigen soll? a sei stets positiv.
b) f(x)= (1/3)ax3-(1/a)x
Ich habe bis hier gefunden : x^2 > 1/a^2
c) f(x)= 4a3x2+(1/x)
vielen Dank im Voraus !!
2 Antworten
Wenn f in [1; 2] streng monoton steigen soll, muss f' in [1; 2] > 0 (oder nur an einzelnen Punkten = 0) sein. Die Ableitung einer Funktion dritten Grades ist eine Parabel / quadratische Funktion, also muss die Parabel die x-Achse höchstens berühren (oder gar nicht schneiden).
Hier gilt: f'(x) = ax² - 1/a
Nun muss unsere Bedingung noch gelten: ax² - 1/a > 0 in [1; 2] (der Einfachheit halber definieren wir uns unsere Parabel einfach über der x-Achse - sonst ginge auch ≥).
Formen wir ein bisschen um, kommen wir auf:
a²x² > 1 in [1; 2]
Wann ist das nun der Fall?
Betrachten wir die Grenzen:
- Für x = 1 muss gelten: a² > 1
- Für x = 2 muss gelten: 4a² > 1, also a² > 1/4
a² > 1 gilt für a > 1 (a ist positiv).
a² > 1/4 gilt für a > 1/2.
a muss also größer als 1 und größer als 1/2 sein - das funktioniert nur, wenn a > 1 ist. Damit haben wir unsere Bedingung.
Die andere Aufgabe funktioniert analog ;-)
LG
Streng monoton bedeutet, dass nicht mal eine Terasse sein darf, was mit dem linearen Glied durchaus möglich wäre! Das lineare müsste also fehlen, geht nicht!
a darf nicht 0 sein, also bleibt nur x übrig, damit immer eine Konstante herauskommt (y-Verschiebung)!
Eine Terasse ist ein Bereich und nicht streng monoton! In einem Punkt ist keine Terasse!
Dann stimmt Dein erster Satz aber nicht. Eine größere Terrasse ist bei der Funktion ohnehin nicht möglich, wenn mich nicht alles täuscht.
Doch, eine Terrasse darf sein, aber eben nur an einem Punkt.